Номер 8.5, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.5. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а его высота — 12 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, у которого стороны основания равны $a = 6$ см и $b = 8$ см, а высота $h_{пар} = 12$ см. Около этого параллелепипеда описан цилиндр.

Если цилиндр описан около прямоугольного параллелепипеда, то высота цилиндра $h_{цил}$ равна высоте параллелепипеда, а основание цилиндра представляет собой окружность, описанную около прямоугольного основания параллелепипеда.

1. Найдём высоту цилиндра.
Высота цилиндра равна высоте параллелепипеда: $h_{цил} = h_{пар} = 12$ см.

2. Найдём радиус основания цилиндра.
Основанием цилиндра является окружность, описанная около прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см. Диаметр этой окружности $d$ равен диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора найдём диагональ прямоугольника: $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Найдём площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$ где $S_{осн}$ — площадь основания цилиндра, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$: $S_{осн} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h_{цил}$: $S_{бок} = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi$ см².

Теперь найдём площадь полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot (25\pi) + 120\pi = 50\pi + 120\pi = 170\pi$ см².

Ответ: $170\pi$ см².