Номер 7.37, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.37. Основания трапеции равны 6 см и 27 см, а одна из боковых сторон — 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данную трапецию.

Пусть дана трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим ее основания как $a$ и $b$, а боковые стороны — как $c$ и $d$.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 6$ см и $b = 27$ см, а одна из боковых сторон равна $c = 13$ см.

Основное свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$a + b = c + d$

Подставим известные значения, чтобы найти длину второй боковой стороны $d$:

$6 + 27 = 13 + d$

$33 = 13 + d$

$d = 33 - 13 = 20$ см.

Таким образом, боковые стороны трапеции равны $13$ см и $20$ см.

Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции $h$. Радиус $r$ этой окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2}$

Чтобы найти высоту трапеции, проведем из вершин меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 27$ см и $BC = 6$ см, и боковыми сторонами $AB = 13$ см и $CD = 20$ см. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из точек $B$ и $C$ на основание $AD$.

Получим прямоугольник $HBCK$, в котором $HK = BC = 6$ см, и два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Высота $BH = CK = h$.

Отрезки $AH$ и $KD$ вместе составляют разность длин оснований: $AH + KD = AD - HK = 27 - 6 = 21$ см.

Пусть $AH = x$, тогда $KD = 21 - x$.

Применим теорему Пифагора для обоих прямоугольных треугольников:

В $\triangle ABH$: $h^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$.

В $\triangle CDK$: $h^2 = CD^2 - KD^2 = 20^2 - (21-x)^2 = 400 - (441 - 42x + x^2)$.

Приравняем выражения для $h^2$, чтобы найти $x$:

$169 - x^2 = 400 - 441 + 42x - x^2$

$169 = -41 + 42x$

$169 + 41 = 42x$

$210 = 42x$

$x = \frac{210}{42} = 5$ см.

Теперь, когда мы нашли $x = AH = 5$ см, можем вычислить высоту $h$:

$h^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Высота трапеции равна $12$ см. Найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.