Номер 8.6, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.6. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, диагональ которого равна $d = 12$ см. Угол между этой диагональю и плоскостью основания цилиндра равен $\alpha = 30°$. Сторонами этого прямоугольника являются высота цилиндра $H$ и диаметр его основания $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю $d$, высотой $H$ и диаметром $D$. В этом треугольнике:

• Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $30°$, поэтому $H = d \cdot \sin(30°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
• Диаметр $D$ является катетом, прилежащим к углу $30°$, поэтому $D = d \cdot \cos(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра ($H_{призмы} = H = 6$ см), а в основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Радиус этой окружности $R$ является радиусом описанной окружности для равностороннего треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника в основании призмы равна $a$. Связь между стороной правильного треугольника и радиусом описанной окружности выражается формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда найдем сторону $a$:
$a = R \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Площадь боковой поверхности правильной призмы $S_{бок.}$ вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн.}$ на высоту призмы $H_{призмы}$.

Периметр основания призмы: $P_{осн.} = 3a = 3 \cdot 9 = 27$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок.} = P_{осн.} \cdot H_{призмы} = 27 \cdot 6 = 162$ см².

Ответ: $162$ см².