Номер 8.2, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.2. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна меньшему основанию. Можно ли вписать цилиндр в эту призму?

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы в ее основание, которое является многоугольником, можно было вписать окружность. В этом случае основания цилиндра будут вписаны в основания призмы, а высота цилиндра будет равна высоте призмы.

Основанием данной прямой призмы является равнобокая трапеция. Пусть длины ее оснований равны $a$ и $c$, а длина боковых сторон — $b$. По условию, трапеция равнобокая, что означает равенство боковых сторон. Также дано, что боковая сторона равна меньшему основанию. Пусть $c$ — меньшее основание, тогда $b = c$.

В выпуклый четырехугольник (каковым является трапеция) можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции с основаниями $a$, $c$ и боковыми сторонами $b$ это условие имеет вид: $a + c = b + b = 2b$

Подставим в это равенство условие из задачи, $b = c$: $a + c = 2c$

Выразим $a$ из этого уравнения: $a = 2c - c$ $a = c$

Мы получили, что для того, чтобы в заданную трапецию можно было вписать окружность, ее основания должны быть равны ($a=c$). Однако, по определению, трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет. Это подразумевает, что длины оснований не равны ($a \neq c$). Если бы основания были равны, то фигура была бы параллелограммом. Учитывая, что $b=c$ и $a=c$, все стороны фигуры были бы равны, и она являлась бы ромбом.

Таким образом, условие возможности вписать окружность в данную трапецию ($a=c$) противоречит определению самой фигуры как трапеции (где $a \neq c$). Следовательно, в основание данной призмы нельзя вписать окружность.

Поскольку в основание призмы нельзя вписать окружность, то и в саму призму вписать цилиндр невозможно.

Ответ: нет, нельзя.