Номер 7.36, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB$ и $BC$. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. По условию, длина этой высоты $BH = h$, а угол между равными сторонами $∠ABC = \alpha$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Так как $BH$ — биссектриса угла $∠ABC$, то она делит этот угол пополам:

$∠ABH = ∠CBH = \frac{∠ABC}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Центр вписанной в треугольник окружности, назовем его $I$, является точкой пересечения биссектрис его углов. Поскольку $BH$ является биссектрисой, центр $I$ лежит на отрезке $BH$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это перпендикуляр, опущенный из ее центра на любую из сторон треугольника. Таким образом, расстояние от точки $I$ до основания $AC$ равно радиусу, то есть $IH = r$. Тогда расстояние от вершины $B$ до центра вписанной окружности $I$ будет равно:

$BI = BH - IH = h - r$

Проведем радиус $IK$ из центра $I$ к боковой стороне $AB$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $IK \perp AB$. Длина отрезка $IK$ также равна радиусу вписанной окружности: $IK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKI$ (угол $∠BKI = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• Гипотенуза $BI = h - r$
• Катет $IK = r$
• Угол $∠IBK = ∠ABH = \frac{\alpha}{2}$

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем соотношение:

$\sin(∠IBK) = \frac{IK}{BI}$

Подставим в это уравнение известные нам выражения:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{h - r}$

Теперь выразим $r$ из этого уравнения. Для этого сначала умножим обе части на $(h - r)$:

$(h - r) \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r$

Раскроем скобки:

$h \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) - r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r$

Соберем все слагаемые, содержащие $r$, в одной части уравнения:

$h \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r + r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Вынесем $r$ за скобки:

$h \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = r \left(1 + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Наконец, найдем $r$:

$r = \frac{h \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $r = \frac{h \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$