Номер 7.32, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.32. Радиус основания и высота цилиндра соответственно равны 1 см и $\sqrt{2}$ см. Вершины $A$ и $B$ равностороннего треугольника $ABC$ принадлежат окружности одного из оснований цилиндра, а вершина $C$ — окружности другого основания. Найдите сторону треугольника $ABC$.

Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника $ABC$. По условию задачи радиус основания цилиндра $R = 1$ см, а высота $H = \sqrt{2}$ см.

Вершины $A$ и $B$ треугольника лежат на окружности одного из оснований. Хорда $AB$ имеет длину $a$. Пусть $O_1$ — центр этого основания, а $M$ — середина хорды $AB$. Треугольник $\triangle O_1MA$ является прямоугольным с гипотенузой $O_1A = R = 1$ и катетом $AM = a/2$. По теореме Пифагора найдём расстояние от центра основания до хорды $AB$:$O_1M = \sqrt{O_1A^2 - AM^2} = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$.

Вершина $C$ лежит на окружности другого основания. Пусть $C_{пр}$ — ортогональная проекция точки $C$ на плоскость основания, содержащего точки $A$ и $B$. Точка $C_{пр}$ будет лежать на окружности этого основания, то есть $O_1C_{пр} = R = 1$. Расстояние между точкой $C$ и её проекцией равно высоте цилиндра: $CC_{пр} = H = \sqrt{2}$.

Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $AC = BC$. Это означает, что точка $C$ лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $AB$ и проходящей через его середину $M$. Следовательно, проекция $C_{пр}$ лежит на прямой, содержащей радиус, перпендикулярный хорде $AB$. Таким образом, точки $O_1$, $M$ и $C_{пр}$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CMC_{пр}$ (угол $\angle CC_{пр}M = 90^\circ$, так как $CC_{пр}$ перпендикулярно плоскости основания). Гипотенуза $CM$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$, и её длина равна $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора для $\triangle CMC_{пр}$:$CM^2 = (MC_{пр})^2 + (CC_{пр})^2$Подставляем известные величины:$(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = (MC_{пр})^2 + (\sqrt{2})^2$$\frac{3a^2}{4} = (MC_{пр})^2 + 2$

Расстояние $MC_{пр}$ зависит от взаимного расположения точек $O_1$, $M$ и $C_{пр}$ на прямой. Возможны два случая.

Случай 1. Точка M лежит между O_1 и C_{пр}.
В этом случае расстояние $MC_{пр} = O_1C_{пр} - O_1M = R - O_1M = 1 - \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$. Подставим это выражение в наше уравнение:$\frac{3a^2}{4} = \left(1 - \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}\right)^2 + 2$$\frac{3a^2}{4} = 1 - 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}} + \left(1 - \frac{a^2}{4}\right) + 2$$\frac{3a^2}{4} = 4 - \frac{a^2}{4} - 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$$a^2 - 4 = -2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$$4 - a^2 = 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$Возведём обе части в квадрат (обе части неотрицательны, так как $a \le 2R = 2$):$(4 - a^2)^2 = 4\left(1 - \frac{a^2}{4}\right)$$16 - 8a^2 + a^4 = 4 - a^2$$a^4 - 7a^2 + 12 = 0$Пусть $x = a^2$. Уравнение принимает вид $x^2 - 7x + 12 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Следовательно, $a^2 = 3$ или $a^2 = 4$. Отсюда получаем два возможных значения для стороны треугольника: $a = \sqrt{3}$ см и $a = 2$ см.

Случай 2. Точка O_1 лежит между M и C_{пр}.
В этом случае расстояние $MC_{пр} = O_1C_{пр} + O_1M = R + O_1M = 1 + \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$. Подставим это выражение в уравнение:$\frac{3a^2}{4} = \left(1 + \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}\right)^2 + 2$$\frac{3a^2}{4} = 1 + 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}} + \left(1 - \frac{a^2}{4}\right) + 2$$\frac{3a^2}{4} = 4 - \frac{a^2}{4} + 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$$a^2 - 4 = 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$Правая часть этого уравнения неотрицательна. Левая часть, $a^2-4$, должна быть также неотрицательной. Однако, так как $AB$ — хорда окружности радиуса 1, её длина $a$ не может превышать диаметр, то есть $a \le 2$, и $a^2 \le 4$. Таким образом, $a^2-4 \le 0$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.$a^2 - 4 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = 2$. Это решение совпадает с одним из решений, найденных в первом случае.

Таким образом, существуют два возможных значения для стороны треугольника.

Ответ: $\sqrt{3}$ см или 2 см.