Номер 7.26, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.26. Прямоугольник $MM_1N_1N$ — сечение цилиндра, параллельное его оси (рис. 7.20). Точки $A$ и $B$ лежат на основаниях цилиндра по разные стороны от данного сечения. Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1N$.

Рис. 7.20

Для построения точки пересечения прямой AB с плоскостью сечения $MM_1N_1$ используется метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть метода заключается в том, чтобы провести через заданную прямую (AB) вспомогательную плоскость, найти линию её пересечения с заданной плоскостью ($MM_1N_1$), а затем найти точку пересечения заданной прямой с этой линией.

Построение и обоснование

1. Сначала построим вспомогательную плоскость, содержащую прямую AB. Для этого через точку A, которая лежит на верхнем основании цилиндра, проведем образующую $AA_0$, параллельную оси цилиндра, до пересечения с плоскостью нижнего основания в точке $A_0$. Так как сечение $MM_1N_1N$ параллельно оси цилиндра, его стороны $MM_1$ и $NN_1$ являются образующими. Следовательно, $AA_0 \parallel MM_1$. Три точки A, B и $A_0$ не лежат на одной прямой и определяют единственную вспомогательную секущую плоскость $(ABA_0)$.

2. Далее найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(ABA_0)$ с плоскостью сечения $(MM_1N_1)$. Для построения прямой достаточно найти две её точки, либо одну точку и направление.

а) Найдем одну общую точку этих плоскостей. Прямая $A_0B$ лежит во вспомогательной плоскости $(ABA_0)$ (так как точки $A_0$ и B лежат в ней) и одновременно в плоскости нижнего основания. Прямая $MN$ лежит в плоскости сечения $(MM_1N_1)$ и также в плоскости нижнего основания. Поскольку по условию точки A и B находятся по разные стороны от сечения, их проекции на основания (A и $A_0$ для верхнего, B для нижнего) также будут лежать по разные стороны от линий пересечения сечения с основаниями ($M_1N_1$ и $MN$). Следовательно, отрезок $A_0B$ пересекает прямую $MN$ в некоторой точке K. Точка $K = A_0B \cap MN$ принадлежит обеим плоскостям, $(ABA_0)$ и $(MM_1N_1)$, а значит, лежит на их линии пересечения.

б) Определим направление линии пересечения. Вспомогательная плоскость $(ABA_0)$ содержит прямую $AA_0$, а плоскость сечения $(MM_1N_1)$ содержит прямую $MM_1$. Мы уже установили, что эти прямые параллельны ($AA_0 \parallel MM_1$). Если две пересекающиеся плоскости проходят через две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым. Обозначим линию пересечения плоскостей $(ABA_0)$ и $(MM_1N_1)$ как $l$. Тогда $l \parallel AA_0 \parallel MM_1$.

Таким образом, линия пересечения $l$ — это прямая, проходящая через точку K и параллельная образующей $MM_1$.

3. Наконец, найдем искомую точку пересечения P. Эта точка является точкой пересечения прямой AB и плоскости $(MM_1N_1)$.

По построению, прямая $l$ целиком лежит в плоскости $(MM_1N_1)$. Прямая AB и прямая $l$ обе лежат в одной вспомогательной плоскости $(ABA_0)$. Поскольку в общем случае они не параллельны, они пересекаются в некоторой точке P. Эта точка P принадлежит прямой AB по определению. Также, поскольку P лежит на прямой $l$, а прямая $l$ лежит в плоскости $(MM_1N_1)$, точка P принадлежит и плоскости $(MM_1N_1)$.

Следовательно, точка $P = AB \cap l$ и есть искомая точка пересечения прямой AB с плоскостью $MM_1N_1$.

Краткий алгоритм построения:

1. Провести образующую $AA_0$ (где $A_0$ — проекция точки A на плоскость нижнего основания).

2. В плоскости нижнего основания провести прямую $A_0B$ и найти точку её пересечения с прямой $MN$. Обозначить эту точку K.

3. В плоскости сечения $(MM_1N_1)$ провести прямую $l$ через точку K параллельно образующей $MM_1$.

4. Найти точку пересечения P прямых AB и $l$. Точка P является искомой.

Ответ: Искомая точка P строится как точка пересечения прямой AB с прямой $l$, которая проходит через точку $K = A_0B \cap MN$ ($A_0$ — проекция точки A на нижнее основание) и параллельна образующей $MM_1$.