Номер 7.22, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.22. Угол между диагональю развёртки боковой поверхности цилиндра и стороной развёртки, равной длине окружности основания цилиндра, равен $ \alpha $. Найдите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — длине окружности основания $L = 2\pi R$, где $R$ — радиус основания цилиндра.

По условию, угол $\alpha$ — это угол между диагональю развёртки и стороной, равной длине окружности основания ($L$). В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами развёртки ($H$ и $L$) и её диагональю, тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($H$) к прилежащему ($L$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{L} = \frac{H}{2\pi R}$

Из этого соотношения мы можем выразить высоту цилиндра $H$:

$H = 2\pi R \tan(\alpha)$

Теперь рассмотрим осевое сечение цилиндра. Осевое сечение также является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру основания $D = 2R$.

Нам нужно найти угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания. Обозначим этот угол как $\beta$. Этот угол находится в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю осевого сечения (гипотенуза), высотой цилиндра $H$ (противолежащий катет) и диаметром основания $D = 2R$ (прилежащий катет). Проекцией диагонали осевого сечения на плоскость основания является диаметр основания.

Тангенс угла $\beta$ равен отношению высоты цилиндра к диаметру его основания:

$\tan(\beta) = \frac{H}{D} = \frac{H}{2R}$

Подставим в это выражение ранее найденное выражение для $H$:

$\tan(\beta) = \frac{2\pi R \tan(\alpha)}{2R}$

Сократив $2R$, получаем:

$\tan(\beta) = \pi \tan(\alpha)$

Следовательно, искомый угол $\beta$ равен арктангенсу этого выражения.

Ответ: $\arctan(\pi \tan(\alpha))$