Номер 7.15, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.15. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 10 см, а высота — 12 см, проведено сечение, являющееся квадратом. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Пусть дан цилиндр с радиусом основания $R = 10$ см и высотой $H = 12$ см. Сечение проведено параллельно оси цилиндра, следовательно, оно представляет собой прямоугольник. Две стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра, а две другие — хорды оснований цилиндра.

По условию, сечение является квадратом. Это означает, что все его стороны равны. Поскольку одна из сторон сечения равна высоте цилиндра $H = 12$ см, то и все остальные стороны квадрата равны 12 см. В частности, хорда в основании цилиндра, являющаяся стороной квадрата, имеет длину $a = 12$ см.

Искомое расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно расстоянию от центра основания до хорды, которая является стороной сечения. Обозначим эту хорду $AB$, а центр основания — $O$. Таким образом, нам нужно найти длину перпендикуляра $OM$, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, образованный двумя радиусами $OA$, $OB$ и хордой $AB$. Этот треугольник является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 10$ см. Перпендикуляр $OM$, проведенный к основанию $AB$, является в равнобедренном треугольнике также и медианой. Следовательно, он делит хорду $AB$ пополам:$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$OA^2 = OM^2 + AM^2$Выразим из этой формулы искомое расстояние $OM$:$OM^2 = OA^2 - AM^2$Подставим известные значения:$OM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$OM = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.