Номер 7.16, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.16. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $ \alpha $ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $ \beta $, а радиус основания равен $ R $. Найдите площадь сечения.

Поскольку секущая плоскость проведена параллельно оси цилиндра, то сечением является прямоугольник. Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон. Одна сторона прямоугольника — это хорда в основании цилиндра, а другая — высота цилиндра. Обозначим длину хорды как $L$, а высоту как $H$. Тогда искомая площадь сечения $S = L \cdot H$.

Сначала найдем длину хорды $L$. Хорда отсекает от окружности основания дугу с градусной мерой $\alpha$. Следовательно, центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами $R$, проведенными к ее концам. Боковые стороны треугольника равны $R$, а угол между ними равен $\alpha$. Длину хорды $L$ можно найти, разбив этот треугольник высотой на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна $R$, а угол, противолежащий катету, равному $L/2$, равен $\alpha/2$.
Из определения синуса: $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{L/2}{R}$.
Выразим длину хорды: $L = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. По условию, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота цилиндра $H$ и радиус нижнего основания $R$, а гипотенузой — упомянутый отрезок. Угол $\beta$ — это угол между гипотенузой и катетом-радиусом, так как радиус является проекцией этого отрезка на плоскость основания.
Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(\beta) = \frac{H}{R}$.
Отсюда выражаем высоту: $H = R \tan(\beta)$.

Наконец, вычислим площадь сечения $S$, перемножив найденные значения $L$ и $H$: $S = L \cdot H = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot (R \tan(\beta)) = 2R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $2R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.