Страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.10. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $120^\circ$, а из центра верхнего основания — под углом $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 6 см.

Для решения задачи необходимо последовательно найти радиус основания цилиндра $R$ и его высоту $H$. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра (R)

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $AB$ — данная хорда, длина которой $AB = 6$ см. Рассмотрим треугольник $AO_1B$, образованный хордой и двумя радиусами $O_1A = O_1B = R$. Этот треугольник является равнобедренным.

По условию, угол, под которым видна хорда из центра нижнего основания, равен $120^\circ$. Следовательно, $\angle AO_1B = 120^\circ$.

Применим к треугольнику $AO_1B$ теорему косинусов:

$AB^2 = O_1A^2 + O_1B^2 - 2 \cdot O_1A \cdot O_1B \cdot \cos(\angle AO_1B)$

Подставим известные значения:

$6^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -0.5$:

$36 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$36 = 2R^2 + R^2$

$36 = 3R^2$

$R^2 = 12$

$R = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра (H)

Пусть $O_2$ — центр верхнего основания. По условию, хорду $AB$ видно из центра $O_2$ под углом $60^\circ$, то есть $\angle AO_2B = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AO_2B$. Отрезки $O_2A$ и $O_2B$ равны, так как они соединяют центр верхнего основания с концами хорды нижнего основания, которые равноудалены от оси цилиндра. Таким образом, треугольник $AO_2B$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$. Это означает, что треугольник $AO_2B$ — равносторонний, и все его стороны равны.

$O_2A = O_2B = AB = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1O_2A$. Его катетами являются радиус нижнего основания $O_1A = R$ и высота цилиндра $O_1O_2 = H$. Гипотенузой является отрезок $O_2A$.

По теореме Пифагора:

$O_1A^2 + O_1O_2^2 = O_2A^2$

$R^2 + H^2 = O_2A^2$

Подставим известные значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $O_2A = 6$ см:

$(2\sqrt{3})^2 + H^2 = 6^2$

$12 + H^2 = 36$

$H^2 = 36 - 12 = 24$

$H = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi R H$

Подставим найденные значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $H = 2\sqrt{6}$ см в формулу:

$S_{бок} = 2 \pi \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{6})$

$S_{бок} = 8 \pi \sqrt{3 \cdot 6} = 8 \pi \sqrt{18}$

Упростим полученное выражение:

$S_{бок} = 8 \pi \sqrt{9 \cdot 2} = 8 \pi \cdot 3\sqrt{2} = 24\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $24\pi\sqrt{2}$ см$^2$.

7.11. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом 90°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус его основания равен 8 см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. По условию, радиус основания $R = 8$ см. Следовательно, для решения задачи нам необходимо найти высоту $H$.

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $AB$ — данная хорда. В нижнем основании рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$. Так как $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами, то $O_1A = O_1B = R = 8$ см. По условию, хорду видно из центра этого основания под углом $90^\circ$, значит $\angle AO_1B = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AO_1B$ — это прямоугольный равнобедренный треугольник. Длину хорды $AB$ можно найти по теореме Пифагора:

$AB^2 = O_1A^2 + O_1B^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$

$AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$, где $O_2$ — центр верхнего основания. Этот треугольник равнобедренный, так как его боковые стороны $O_2A$ и $O_2B$ — это равные расстояния от точек $A$ и $B$ на окружности нижнего основания до центра верхнего основания. По условию, хорду видно из центра верхнего основания под углом $60^\circ$, то есть $\angle AO_2B = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, $O_2A = O_2B = AB = 8\sqrt{2}$ см.

Высоту цилиндра $H$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle O_1O_2A$. В этом треугольнике катет $O_1O_2$ — это высота цилиндра $H$, катет $O_1A$ — это радиус основания $R=8$ см, а гипотенуза $O_2A = 8\sqrt{2}$ см. Применим теорему Пифагора:

$O_2A^2 = O_1O_2^2 + O_1A^2$

$H^2 = O_2A^2 - O_1A^2 = (8\sqrt{2})^2 - 8^2 = 128 - 64 = 64$

$H = \sqrt{64} = 8$ см.

Зная радиус $R = 8$ см и высоту $H = 8$ см, находим площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 8 \cdot 8 = 128\pi$ см².

Ответ: $128\pi$ см².

7.12. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно $a$.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра воспользуемся формулой $S_{бок} = 2\pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Выразим $R$ и $H$ через известные из условия величины.

1. Найдем радиус основания R

Пусть $O_1$ — центр нижнего основания, а $AB$ — хорда в этом основании. По условию, угол, под которым хорда видна из центра, равен $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$. Треугольник $\triangle AO_1B$ равнобедренный, так как $O_1A$ и $O_1B$ — радиусы ($O_1A = O_1B = R$).

Расстояние от центра основания до хорды — это длина перпендикуляра $O_1M$, опущенного из точки $O_1$ на хорду $AB$. По условию, $O_1M = a$. В равнобедренном треугольнике $\triangle AO_1B$ высота $O_1M$ является также биссектрисой угла $\angle AO_1B$, поэтому $\angle AO_1M = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. В нем катет $O_1M = a$, гипотенуза $O_1A = R$ и прилежащий к катету угол $\angle AO_1M = \frac{\alpha}{2}$. Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{O_1M}{O_1A} = \frac{a}{R}$

Отсюда выражаем радиус основания:
$R = \frac{a}{\cos(\alpha/2)}$

2. Найдем высоту цилиндра H

Пусть $O_2$ — центр верхнего основания. Высота цилиндра $H = O_1O_2$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания $O_2$ с концом хорды $A$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией этого отрезка $O_2A$ на плоскость нижнего основания является радиус $O_1A$. Таким образом, угол между отрезком $O_2A$ и его проекцией $O_1A$ равен $\beta$, то есть $\angle O_2AO_1 = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_2O_1A$. Он прямоугольный, так как высота $O_1O_2$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и радиусу $O_1A$. Катетами являются высота $H = O_1O_2$ и радиус $R = O_1A$. Из соотношения в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\beta) = \frac{O_1O_2}{O_1A} = \frac{H}{R}$

Отсюда выражаем высоту цилиндра:
$H = R \tan(\beta)$

Подставим в это выражение найденное ранее значение $R$:
$H = \frac{a}{\cos(\alpha/2)} \tan(\beta)$

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности, подставив выражения для $R$ и $H$ в формулу $S_{бок} = 2\pi R H$:
$S_{бок} = 2\pi \cdot \left(\frac{a}{\cos(\alpha/2)}\right) \cdot \left(\frac{a \tan(\beta)}{\cos(\alpha/2)}\right)$

Упростив выражение, получим:
$S_{бок} = \frac{2\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos^2(\alpha/2)}$

Ответ: $\frac{2\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos^2(\alpha/2)}$

7.13. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\beta$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, равен $m$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ нам необходимо знать его радиус основания $R$ и высоту $H$. Формула площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \pi R H$.

1. Введем обозначения и рассмотрим прямоугольный треугольник.
Пусть $O_1$ — центр верхнего основания, а $O$ — центр нижнего основания. Тогда высота цилиндра $H = O_1O$.
Пусть $AB$ — хорда в нижнем основании, а $K$ — её середина. По условию, отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину хорды, равен $m$, то есть $O_1K = m$.
Этот отрезок образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Проекцией отрезка $O_1K$ на плоскость нижнего основания является отрезок $OK$. Таким образом, угол между $O_1K$ и плоскостью основания — это $\angle O_1KO = \alpha$.
Так как $O_1O$ — перпендикуляр к плоскости основания, треугольник $\triangle O_1OK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

2. Найдем высоту цилиндра $H$ и расстояние $OK$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle O_1OK$ найдем катеты $O_1O$ и $OK$:
Высота цилиндра $H = O_1O = O_1K \cdot \sin(\angle O_1KO) = m \sin(\alpha)$.
Расстояние от центра основания до хорды $OK = O_1K \cdot \cos(\angle O_1KO) = m \cos(\alpha)$.

3. Найдем радиус основания $R$.
Рассмотрим нижнее основание. $OA$ и $OB$ — радиусы, равные $R$. Хорду $AB$ видно из центра $O$ под углом $\beta$, то есть $\angle AOB = \beta$.
Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный ($OA=OB=R$). Отрезок $OK$ является медианой, проведенной к основанию $AB$, а значит, он также является высотой и биссектрисой.
Следовательно, $\triangle AOK$ — прямоугольный ($\angle OKA = 90^\circ$), и $\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{\beta}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle AOK$ имеем: $\cos(\angle AOK) = \frac{OK}{OA}$
$\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{OK}{R}$
Отсюда выразим радиус $R$: $R = \frac{OK}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Подставим найденное ранее значение $OK = m \cos(\alpha)$: $R = \frac{m \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$

4. Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра.
Теперь у нас есть все необходимые величины для вычисления площади боковой поверхности:
$H = m \sin(\alpha)$
$R = \frac{m \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Подставим их в формулу $S_{бок} = 2 \pi R H$:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot \left(\frac{m \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}\right) \cdot (m \sin(\alpha)) = \frac{2 \pi m^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$
Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получим окончательное выражение:
$S_{бок} = \frac{\pi m^2 \sin(2\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 \sin(2\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$

7.14. Вокруг какой из сторон прямоугольника, большей или меньшей, надо его вращать, чтобы получить цилиндр с большей площадью:

1) боковой поверхности;

2) полной поверхности?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Предположим, что $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая, то есть $a > b$.

Рассмотрим два случая получения цилиндра путем вращения этого прямоугольника.

• Случай 1: Вращение вокруг большей стороны $a$. Высота полученного цилиндра будет $h_1 = a$, а радиус основания $r_1 = b$.
• Случай 2: Вращение вокруг меньшей стороны $b$. Высота полученного цилиндра будет $h_2 = b$, а радиус основания $r_2 = a$.

1) боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Для первого случая (вращение вокруг стороны $a$):

$S_{бок1} = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi b a$

Для второго случая (вращение вокруг стороны $b$):

$S_{бок2} = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi a b$

Сравнивая полученные площади, мы видим, что $S_{бок1} = S_{бок2}$. Это означает, что площадь боковой поверхности будет одинаковой независимо от того, вокруг какой стороны (большей или меньшей) вращается прямоугольник.

Ответ: Площадь боковой поверхности будет одинаковой в обоих случаях.

2) полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(r+h)$.

Для первого случая (вращение вокруг стороны $a$):

$S_{полн1} = 2\pi r_1(r_1 + h_1) = 2\pi b(b+a) = 2\pi b^2 + 2\pi ab$

Для второго случая (вращение вокруг стороны $b$):

$S_{полн2} = 2\pi r_2(r_2 + h_2) = 2\pi a(a+b) = 2\pi a^2 + 2\pi ab$

Чтобы сравнить $S_{полн1}$ и $S_{полн2}$, вычтем одну из другой. Поскольку обе площади содержат одинаковое слагаемое $2\pi ab$ (площадь боковой поверхности), сравнение сводится к сравнению площадей двух оснований $2\pi r^2$.

В первом случае площадь оснований равна $2\pi b^2$.

Во втором случае площадь оснований равна $2\pi a^2$.

Так как по условию $a > b$, то $a^2 > b^2$, и, следовательно, $2\pi a^2 > 2\pi b^2$.

Таким образом, $S_{полн2} > S_{полн1}$. Это означает, что площадь полной поверхности будет больше, если вращать прямоугольник вокруг его меньшей стороны.

Ответ: Чтобы получить цилиндр с большей площадью полной поверхности, прямоугольник надо вращать вокруг его меньшей стороны.

7.15. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 10 см, а высота — 12 см, проведено сечение, являющееся квадратом. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Пусть дан цилиндр с радиусом основания $R = 10$ см и высотой $H = 12$ см. Сечение проведено параллельно оси цилиндра, следовательно, оно представляет собой прямоугольник. Две стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра, а две другие — хорды оснований цилиндра.

По условию, сечение является квадратом. Это означает, что все его стороны равны. Поскольку одна из сторон сечения равна высоте цилиндра $H = 12$ см, то и все остальные стороны квадрата равны 12 см. В частности, хорда в основании цилиндра, являющаяся стороной квадрата, имеет длину $a = 12$ см.

Искомое расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно расстоянию от центра основания до хорды, которая является стороной сечения. Обозначим эту хорду $AB$, а центр основания — $O$. Таким образом, нам нужно найти длину перпендикуляра $OM$, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, образованный двумя радиусами $OA$, $OB$ и хордой $AB$. Этот треугольник является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 10$ см. Перпендикуляр $OM$, проведенный к основанию $AB$, является в равнобедренном треугольнике также и медианой. Следовательно, он делит хорду $AB$ пополам:$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$OA^2 = OM^2 + AM^2$Выразим из этой формулы искомое расстояние $OM$:$OM^2 = OA^2 - AM^2$Подставим известные значения:$OM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$OM = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

7.16. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $ \alpha $ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $ \beta $, а радиус основания равен $ R $. Найдите площадь сечения.

Поскольку секущая плоскость проведена параллельно оси цилиндра, то сечением является прямоугольник. Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон. Одна сторона прямоугольника — это хорда в основании цилиндра, а другая — высота цилиндра. Обозначим длину хорды как $L$, а высоту как $H$. Тогда искомая площадь сечения $S = L \cdot H$.

Сначала найдем длину хорды $L$. Хорда отсекает от окружности основания дугу с градусной мерой $\alpha$. Следовательно, центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами $R$, проведенными к ее концам. Боковые стороны треугольника равны $R$, а угол между ними равен $\alpha$. Длину хорды $L$ можно найти, разбив этот треугольник высотой на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна $R$, а угол, противолежащий катету, равному $L/2$, равен $\alpha/2$.
Из определения синуса: $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{L/2}{R}$.
Выразим длину хорды: $L = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. По условию, отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота цилиндра $H$ и радиус нижнего основания $R$, а гипотенузой — упомянутый отрезок. Угол $\beta$ — это угол между гипотенузой и катетом-радиусом, так как радиус является проекцией этого отрезка на плоскость основания.
Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan(\beta) = \frac{H}{R}$.
Отсюда выражаем высоту: $H = R \tan(\beta)$.

Наконец, вычислим площадь сечения $S$, перемножив найденные значения $L$ и $H$: $S = L \cdot H = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot (R \tan(\beta)) = 2R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $2R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

7.17. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, удалённое от неё на $\sqrt{3}$ см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $120^\circ$. Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 10 см.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Обозначим его стороны как $a$ и $h$, где $a$ — это хорда, отсекаемая сечением от окружности основания, а $h$ — высота цилиндра (и сечения). Площадь сечения $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot h$.

1. Найдем ширину сечения $a$.

Рассмотрим основание цилиндра. Сечение отсекает хорду $AB$, которая стягивает дугу в $120°$. Пусть $O$ — центр окружности основания. Расстояние от оси цилиндра до сечения — это перпендикуляр $OK$, опущенный из центра $O$ на хорду $AB$. По условию, $OK = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности. Центральный угол $\angle AOB$ равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть $\angle AOB = 120°$.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OK$ является также биссектрисой и медианой. Следовательно, она делит угол $\angle AOB$ и сторону $AB$ пополам:$\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$. Мы знаем катет $OK = \sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle OAK$. Однако удобнее использовать угол $\angle AOK = 60°$. Катет $AK$ (половина хорды $AB$) можно найти через тангенс угла $\angle AOK$:$\tan(\angle AOK) = \frac{AK}{OK}$$AK = OK \cdot \tan(60°) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ см.

Таким образом, ширина сечения $a$ равна длине хорды $AB$:$a = 2 \cdot AK = 2 \cdot 3 = 6$ см.

2. Найдем высоту сечения $h$.

Сечение является прямоугольником со сторонами $a=6$ см и $h$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна $d = 10$ см. Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю прямоугольника:$a^2 + h^2 = d^2$

Подставим известные значения:$6^2 + h^2 = 10^2$$36 + h^2 = 100$$h^2 = 100 - 36 = 64$$h = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Найдем площадь сечения $S$.

Теперь, зная обе стороны прямоугольного сечения ($a=6$ см и $h=8$ см), мы можем вычислить его площадь:$S = a \cdot h = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.

7.18. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра, точка $A$ принадлежит нижнему основанию цилиндра (рис. 7.19). На отрезке $OO_1$ отмечена точка $B$ так, что прямая $AB$ пересекает боковую поверхность цилиндра. Постройте точку пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью цилиндра.

Рис. 7.19

Для построения искомой точки пересечения воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Прямая $AB$ и точка $O$ (центр нижнего основания), не лежащая на этой прямой, задают плоскость. Поскольку точка $B$ также лежит на оси цилиндра $OO_1$, то эта плоскость проходит через ось $OO_1$ и точку $A$. Такая плоскость является плоскостью осевого сечения цилиндра.

Сечением цилиндра этой плоскостью является прямоугольник. Точка пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью цилиндра будет лежать в этой плоскости, а именно на одной из образующих, которые являются сторонами этого прямоугольника-сечения.

Алгоритм построения следующий:

1. Построим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку $A$. Для этого проведем через точку $A$ и центр $O$ нижнего основания диаметр $AC$.
2. Через концы диаметра $A$ и $C$ проведем образующие цилиндра (отрезки, перпендикулярные основанию и соединяющие его окружности). Пусть образующая, проходящая через точку $C$, пересекает верхнее основание в точке $C_1$. Прямоугольник, образованный диаметрами и этими двумя образующими, и есть искомое осевое сечение.
3. Прямая $AB$ лежит в плоскости этого сечения. Для нахождения точки ее пересечения с боковой поверхностью достаточно найти точку пересечения прямой $AB$ с образующей, проходящей через точку $C$.
4. Проведем прямую через точки $A$ и $B$. Точка, в которой эта прямая пересечет образующую, проходящую через точку $C$, и будет искомой точкой. Обозначим эту точку $M$.

Точка $M$ принадлежит прямой $AB$ по построению. Также точка $M$ принадлежит образующей, которая является частью боковой поверхности цилиндра. Следовательно, $M$ — искомая точка пересечения.

На рисунке выше проиллюстрировано построение:

• Проведен диаметр $AC$ нижнего основания.
• Проведена образующая $CC_1$, параллельная оси $OO_1$.
• Проведена прямая $AB$, которая пересекает образующую $CC_1$ в точке $M$.

Ответ: Искомая точка $M$ является точкой пересечения прямой $AB$ с образующей цилиндра, проходящей через точку $C$, которая диаметрально противоположна точке $A$ в нижнем основании.