Номер 7.18, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.18. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра, точка $A$ принадлежит нижнему основанию цилиндра (рис. 7.19). На отрезке $OO_1$ отмечена точка $B$ так, что прямая $AB$ пересекает боковую поверхность цилиндра. Постройте точку пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью цилиндра.

Рис. 7.19

Для построения искомой точки пересечения воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Прямая $AB$ и точка $O$ (центр нижнего основания), не лежащая на этой прямой, задают плоскость. Поскольку точка $B$ также лежит на оси цилиндра $OO_1$, то эта плоскость проходит через ось $OO_1$ и точку $A$. Такая плоскость является плоскостью осевого сечения цилиндра.

Сечением цилиндра этой плоскостью является прямоугольник. Точка пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью цилиндра будет лежать в этой плоскости, а именно на одной из образующих, которые являются сторонами этого прямоугольника-сечения.

Алгоритм построения следующий:

1. Построим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку $A$. Для этого проведем через точку $A$ и центр $O$ нижнего основания диаметр $AC$.
2. Через концы диаметра $A$ и $C$ проведем образующие цилиндра (отрезки, перпендикулярные основанию и соединяющие его окружности). Пусть образующая, проходящая через точку $C$, пересекает верхнее основание в точке $C_1$. Прямоугольник, образованный диаметрами и этими двумя образующими, и есть искомое осевое сечение.
3. Прямая $AB$ лежит в плоскости этого сечения. Для нахождения точки ее пересечения с боковой поверхностью достаточно найти точку пересечения прямой $AB$ с образующей, проходящей через точку $C$.
4. Проведем прямую через точки $A$ и $B$. Точка, в которой эта прямая пересечет образующую, проходящую через точку $C$, и будет искомой точкой. Обозначим эту точку $M$.

Точка $M$ принадлежит прямой $AB$ по построению. Также точка $M$ принадлежит образующей, которая является частью боковой поверхности цилиндра. Следовательно, $M$ — искомая точка пересечения.

На рисунке выше проиллюстрировано построение:

• Проведен диаметр $AC$ нижнего основания.
• Проведена образующая $CC_1$, параллельная оси $OO_1$.
• Проведена прямая $AB$, которая пересекает образующую $CC_1$ в точке $M$.

Ответ: Искомая точка $M$ является точкой пересечения прямой $AB$ с образующей цилиндра, проходящей через точку $C$, которая диаметрально противоположна точке $A$ в нижнем основании.