Номер 7.20, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.20. Высота цилиндра равна 20 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая отрезок, соединяющий центры оснований, в точке, удалённой на 6 см от плоскости нижнего основания, а саму эту плоскость — в точке, удалённой на 15 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат, рассмотрев осевое сечение цилиндра. Пусть ось $Oz$ совпадает с осью цилиндра, а ось $Ox$ лежит в плоскости нижнего основания и проходит через его центр $O(0,0)$.

Высота цилиндра по условию равна $H = 20$ см. Обозначим радиус основания цилиндра как $R$. В выбранной системе координат любая образующая цилиндра будет параллельна оси $Oz$. Возьмем образующую, концы которой имеют координаты $A(R, 0)$ на нижнем основании и $B(R, 20)$ на верхнем. Середина этой образующей, точка $M$, будет иметь координаты:

$M(R, \frac{0+20}{2}) = M(R, 10)$

Через точку $M$ проведена прямая. По условию, эта прямая пересекает отрезок, соединяющий центры оснований (то есть ось $Oz$), в точке $K$, удаленной на 6 см от плоскости нижнего основания. Следовательно, координаты точки $K$ равны $(0, 6)$.

Эта же прямая пересекает плоскость нижнего основания (ось $Ox$) в точке $P$, которая удалена на 15 см от центра нижнего основания, то есть от точки $O(0,0)$. Таким образом, расстояние $OP = 15$.

Точки $P$, $K(0, 6)$ и $M(R, 10)$ лежат на одной прямой. Так как ордината точки $K$ (равная 6) находится между ординатами точек $P$ (равной 0) и $M$ (равной 10), точка $K$ лежит на отрезке $PM$. Это означает, что точки $P$ и $M$ должны находиться по разные стороны от оси $Oz$. Если мы приняли, что абсцисса точки $M$ равна $R > 0$, то абсцисса точки $P$ должна быть отрицательной, то есть $P(-15, 0)$.

Для нахождения $R$ воспользуемся методом подобных треугольников. Опустим перпендикуляр из точки $M$ на ось $Oz$. Основание этого перпендикуляра обозначим точкой $M'$. Координаты точки $M'$ будут $(0, 10)$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle POK$ и $\triangle MM'K$.

• $\triangle POK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Катеты: $OP = 15$ и $OK = 6$.
• $\triangle MM'K$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M'$. Катеты: $MM' = R$ (расстояние от $M$ до оси $Oz$) и $M'K = OM' - OK = 10 - 6 = 4$.

Углы $\angle PKO$ и $\angle MKM'$ являются вертикальными, следовательно, они равны. Так как треугольники $\triangle POK$ и $\triangle MM'K$ прямоугольные и имеют по равному острому углу, они подобны ($\triangle POK \sim \triangle MM'K$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их катетов:

$\frac{OP}{MM'} = \frac{OK}{M'K}$

Подставим известные значения длин:

$\frac{15}{R} = \frac{6}{4}$

Выразим $R$ из этого уравнения:

$6 \cdot R = 15 \cdot 4$

$6R = 60$

$R = \frac{60}{6} = 10$ см.

Ответ: 10 см.