Номер 7.24, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.24. Концы отрезка $AB$, равного $\sqrt{2}$ см, принадлежат окружностям разных оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 1 см. Прямая $AB$ образует с плоскостью основания цилиндра угол $45^\circ$. Найдите расстояние между прямой $AB$ и осью цилиндра.

Введем систему координат таким образом, чтобы ось цилиндра совпадала с осью $Oz$, а нижнее основание цилиндра лежало в плоскости $Oxy$. Центр нижнего основания будет в точке $O(0, 0, 0)$. Радиус основания цилиндра $R = 1$ см.

Пусть точка $A$ конца отрезка $AB$ лежит на окружности нижнего основания, а точка $B$ — на окружности верхнего. Длина отрезка $AB = \sqrt{2}$ см. Угол между прямой $AB$ и плоскостью основания равен $45^\circ$.

Найдем высоту цилиндра $H$ и длину проекции отрезка $AB$ на плоскость основания. Высота цилиндра $H$ равна катету в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является отрезок $AB$, а один из углов равен $45^\circ$.$H = AB \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ см.

Длина проекции отрезка $AB$ на плоскость основания $Oxy$ (обозначим ее $A'B'$) равна:$A'B' = AB \cdot \cos(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ см.

Точка $A$ лежит в плоскости основания, поэтому ее проекция $A'$ совпадает с самой точкой $A$. Точка $A$ лежит на окружности радиуса $R=1$ с центром в $O$. Таким образом, расстояние $OA = 1$ см.

Точка $B$ лежит на окружности верхнего основания. Ее проекция $B'$ на плоскость нижнего основания будет находиться на расстоянии от центра $O$, равном радиусу цилиндра. Таким образом, расстояние $OB' = 1$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB'$ в плоскости нижнего основания. Мы знаем длины всех его сторон: $OA = 1$ см, $OB' = 1$ см и $A'B' = AB' = 1$ см. Следовательно, треугольник $\triangle OAB'$ является равносторонним.

Расстояние между скрещивающимися прямыми, осью цилиндра $Oz$ и прямой $AB$, равно расстоянию между осью $Oz$ и прямой $A'B'$, параллельной $AB$ в определенном смысле. Более строго, это расстояние равно длине общего перпендикуляра к этим прямым. В силу симметрии цилиндра, этот перпендикуляр будет лежать в горизонтальной плоскости и соединять ось $Oz$ с серединой отрезка $AB$. Его проекция на основание будет перпендикуляром, опущенным из центра $O$ на хорду $A'B'$.

Таким образом, искомое расстояние равно высоте равностороннего треугольника $\triangle OAB'$, проведенной из вершины $O$ к стороне $A'B'$.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае сторона треугольника $a = 1$ см.

$d = h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.