Номер 7.28, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.28. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $\alpha (0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ})$. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна $S$.

Рис. 7.21

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Площадь основания цилиндра $S$ связана с радиусом формулой $S = \pi R^2$.

Сечение, образованное плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — длине хорды $L$, которую плоскость отсекает от окружности основания.

Рассмотрим окружность основания. Хорда $L$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $\alpha$. В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой, угол при вершине (в центре окружности) равен $\alpha$. Длину хорды $L$ можно найти, разбив этот треугольник на два прямоугольных треугольника высотой, проведенной к хорде. Угол при вершине в каждом из этих прямоугольных треугольников будет равен $\frac{\alpha}{2}$. Тогда отношение противолежащего катета (половины хорды) к гипотенузе (радиусу) равно синусу этого угла:$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{L/2}{R}$Отсюда выразим длину хорды:$L = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Диагональ образовавшегося сечения, высота цилиндра $H$ и хорда $L$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ и $L$ являются катетами. Угол $\beta$ — это угол между диагональю сечения (гипотенузой) и ее проекцией на плоскость основания (хордой $L$). По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:$\tan(\beta) = \frac{H}{L}$Отсюда выразим высоту цилиндра:$H = L \tan(\beta)$.

Подставим найденное выражение для $L$ в формулу для $H$:$H = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \tan(\beta) = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$. Подставим в нее полученное выражение для $H$:$S_{бок} = 2\pi R \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right) = 4\pi R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Зная, что площадь основания $S = \pi R^2$, выполним замену в итоговой формуле:$S_{бок} = 4S \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $4S \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$