Номер 7.34, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.34. Точки $A, C$ и $D$ принадлежат окружности одного из оснований цилиндра. Известно, что $\angle DAC = 90^\circ$, $\angle ADC = 30^\circ$ и $AC = 1$ см. Отрезки $CK$ и $DM$ — образующие цилиндра. Точка $B$ делит отрезок $DM$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $D$, причём $AB \perp KB$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра необходимо найти его радиус $R$ и высоту $h$. Площадь полной поверхности вычисляется по формуле $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R h = 2\pi R(R+h)$.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра ($R$).

Точки $A$, $C$ и $D$ лежат на окружности одного из оснований цилиндра. Следовательно, треугольник $ACD$ вписан в эту окружность. По условию, $\angle DAC = 90^\circ$. Вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр. Значит, хорда $CD$ является диаметром окружности основания, и ее длина равна $2R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. В нем известен катет $AC = 1$ см и противолежащий ему угол $\angle ADC = 30^\circ$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle ADC) = \frac{AC}{CD}$

Подставим известные значения:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{CD}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{CD}$

Отсюда следует, что диаметр $CD = 2$ см. Радиус основания цилиндра равен половине диаметра:

$R = \frac{CD}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра ($h$).

Отрезки $CK$ и $DM$ являются образующими цилиндра, поэтому их длина равна высоте цилиндра $h$. Точка $B$ делит образующую $DM$ в отношении $3:1$, считая от точки $D$, значит, $DB:BM = 3:1$. Тогда $DB = \frac{3}{4}DM = \frac{3}{4}h$.

По условию, $AB \perp KB$, следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $AK^2 = AB^2 + KB^2$.

Выразим квадраты длин сторон этого треугольника через $h$, используя теорему Пифагора в пространстве (квадрат длины отрезка равен сумме квадрата его проекции на плоскость и квадрата разности высот его концов).

• Для отрезка $AK$: его проекцией на плоскость нижнего основания является отрезок $AC$. Разность высот точек $K$ и $A$ равна $h$. Длина $AC = 1$ см. $AK^2 = AC^2 + h^2 = 1^2 + h^2 = 1 + h^2$.

• Для отрезка $AB$: его проекцией на плоскость нижнего основания является отрезок $AD$. Разность высот точек $B$ и $A$ равна длине отрезка $DB = \frac{3}{4}h$. Найдем длину $AD$ из прямоугольного треугольника $ACD$: $\text{tg}(\angle ADC) = \frac{AC}{AD} \implies AD = \frac{AC}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. Тогда $AB^2 = AD^2 + DB^2 = (\sqrt{3})^2 + (\frac{3}{4}h)^2 = 3 + \frac{9h^2}{16}$.

• Для отрезка $KB$: его проекцией на плоскость нижнего основания является отрезок $CD$. Разность высот точек $K$ и $B$ равна $CK - DB = h - \frac{3}{4}h = \frac{1}{4}h$. Длина $CD = 2$ см. $KB^2 = CD^2 + (h - \frac{3}{4}h)^2 = 2^2 + (\frac{1}{4}h)^2 = 4 + \frac{h^2}{16}$.

Теперь подставим полученные выражения в уравнение теоремы Пифагора для $\Delta ABK$:

$1 + h^2 = \left(3 + \frac{9h^2}{16}\right) + \left(4 + \frac{h^2}{16}\right)$

$1 + h^2 = 7 + \frac{10h^2}{16}$

$h^2 - \frac{10h^2}{16} = 7 - 1$

$h^2 - \frac{5h^2}{8} = 6$

$\frac{3h^2}{8} = 6$

$3h^2 = 48$

$h^2 = 16$

Так как высота — положительная величина, $h = 4$ см.

3. Нахождение площади полной поверхности цилиндра.

Мы нашли радиус основания $R=1$ см и высоту $h=4$ см. Теперь можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = 2\pi R(R+h) = 2\pi \cdot 1 \cdot (1 + 4) = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см².

Ответ: $10\pi$ см².