Номер 7.29, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.29. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна $S$.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Плоскость, параллельная оси цилиндра, образует в сечении прямоугольник. Сторонами этого прямоугольника являются высота цилиндра $H$ и хорда основания, длину которой обозначим как $l$. По условию, площадь этого сечения равна $S$, следовательно, $S = l \cdot H$.

Рассмотрим основание цилиндра — окружность радиуса $R$. Хорда $l$ видна из центра этой окружности под углом $\alpha$. Это означает, что равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, имеет угол при вершине (в центре окружности), равный $\alpha$. Длину хорды $l$ можно найти, разделив этот треугольник на два прямоугольных треугольника высотой, проведенной к хорде.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна $R$, один из катетов равен $\frac{l}{2}$, а противолежащий ему угол равен $\frac{\alpha}{2}$. Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{l/2}{R}$
Отсюда выражаем длину хорды $l$:
$l = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим найденное выражение для $l$ в формулу площади сечения $S$:
$S = l \cdot H = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot H = 2RH \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Площадь боковой поверхности цилиндра, которую необходимо найти, вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2\pi R H$

Из формулы для площади сечения $S$ выразим произведение $2RH$:
$2RH = \frac{S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = \pi \cdot (2RH) = \pi \cdot \frac{S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\pi S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{\pi S}{\sin(\alpha/2)}$