Номер 7.23, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.23. Концы отрезка $AB$, равного 15 см, принадлежат окружностям разных оснований цилиндра. Найдите расстояние между прямой $AB$ и осью цилиндра, если высота цилиндра равна 9 см, а радиус его основания — 8 см.

Пусть дан цилиндр с высотой $h = 9$ см и радиусом основания $R = 8$ см. Ось цилиндра обозначим $OO'$, где $O$ и $O'$ — центры нижнего и верхнего оснований соответственно. Отрезок $AB$ длиной 15 см соединяет точку $A$ на окружности верхнего основания и точку $B$ на окружности нижнего основания.

Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $OO'$. Это расстояние равно расстоянию от прямой $OO'$ до плоскости, проходящей через прямую $AB$ параллельно $OO'$.

Для решения задачи воспользуемся методом проекций. Спроектируем отрезок $AB$ на плоскость нижнего основания. Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и осью цилиндра $OO'$ будет равно расстоянию от проекции оси (точки $O$) до проекции прямой $AB$ на эту плоскость.

1. Нахождение длины проекции отрезка AB на плоскость основания

Пусть $A'$ — ортогональная проекция точки $A$ на плоскость нижнего основания. Тогда отрезок $AA'$ перпендикулярен этой плоскости, и его длина равна высоте цилиндра: $|AA'| = h = 9$ см. Отрезок $A'B$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость нижнего основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA'B$, в котором $\angle AA'B = 90^\circ$. Катет $AA'$ равен высоте цилиндра, гипотенуза $AB$ — это данный отрезок. По теореме Пифагора найдём длину катета $A'B$:

$|AB|^2 = |AA'|^2 + |A'B|^2$

$15^2 = 9^2 + |A'B|^2$

$225 = 81 + |A'B|^2$

$|A'B|^2 = 225 - 81 = 144$

$|A'B| = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Нахождение расстояния от оси цилиндра до прямой AB

Точки $A'$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания с центром в точке $O$ и радиусом $R=8$ см. Следовательно, отрезок $A'B$ является хордой этой окружности. Длина хорды $|A'B| = 12$ см.

Искомое расстояние между прямой $AB$ и осью $OO'$ равно расстоянию от центра основания $O$ до хорды $A'B$. Обозначим это расстояние $d$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle OA'B$, где боковые стороны $|OA'| = |OB| = R = 8$ см. Проведём из вершины $O$ высоту $OM$ к основанию $A'B$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $M$ — середина хорды $A'B$.

$|A'M| = |MB| = \frac{|A'B|}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA'$. Гипотенуза $|OA'| = 8$ см, катет $|A'M| = 6$ см. По теореме Пифагора найдём длину второго катета $OM$, который и является искомым расстоянием $d$:

$|OA'|^2 = |OM|^2 + |A'M|^2$

$8^2 = d^2 + 6^2$

$64 = d^2 + 36$

$d^2 = 64 - 36 = 28$

$d = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.