Номер 7.30, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.30. Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота — 32 см. Прямоугольник $ABCD$ расположен так, что его вершины $A$ и $D$ лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины $B$ и $C$ — на окружности верхнего основания. Сторона $AD$ в 4 раза меньше стороны $AB$. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. По условию, $R = 13$ см и $H = 32$ см. Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AD$ и $AB$. По условию, $AB = 4 \cdot AD$. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = AB \cdot AD$.

Рассмотрим проекцию прямоугольника $ABCD$ на плоскость нижнего основания. Вершины $A$ и $D$ уже лежат в этой плоскости на окружности основания. Пусть $B_1$ и $C_1$ — проекции вершин $B$ и $C$ на плоскость нижнего основания. Так как вершины $B$ и $C$ лежат на окружности верхнего основания, их проекции $B_1$ и $C_1$ будут лежать на окружности нижнего основания.

Рассмотрим сторону $AB$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABB_1$, где катет $BB_1$ перпендикулярен плоскости основания и равен высоте цилиндра $H$, а катет $AB_1$ является проекцией стороны $AB$ на плоскость основания. По теореме Пифагора:$AB^2 = AB_1^2 + H^2$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны: $AB \perp AD$. Запишем это условие в виде скалярного произведения векторов: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$. Вектор $\vec{AB}$ можно представить как сумму его проекции на плоскость основания и вектора, перпендикулярного основанию: $\vec{AB} = \vec{AB_1} + \vec{B_1B}$. Подставим это в условие перпендикулярности:$(\vec{AB_1} + \vec{B_1B}) \cdot \vec{AD} = 0$$\vec{AB_1} \cdot \vec{AD} + \vec{B_1B} \cdot \vec{AD} = 0$Вектор $\vec{AD}$ лежит в плоскости основания, а вектор $\vec{B_1B}$ перпендикулярен этой плоскости, поэтому их скалярное произведение $\vec{B_1B} \cdot \vec{AD} = 0$. Следовательно, $\vec{AB_1} \cdot \vec{AD} = 0$. Это означает, что проекция стороны $AB_1$ перпендикулярна стороне $AD$.

Теперь рассмотрим геометрию в плоскости нижнего основания. Точки $A$, $D$ и $B_1$ лежат на одной окружности радиуса $R$. Отрезки $AD$ и $AB_1$ — это хорды этой окружности, и они перпендикулярны. Угол $\angle DAB_1 = 90^\circ$ является вписанным в окружность. Вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр. Следовательно, хорда $DB_1$, соединяющая концы перпендикулярных хорд, является диаметром окружности основания, то есть $DB_1 = 2R$. В прямоугольном треугольнике $DAB_1$ по теореме Пифагора:$AD^2 + AB_1^2 = DB_1^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Мы получили систему уравнений:1) $AB = 4 \cdot AD$2) $AB^2 = AB_1^2 + H^2$3) $AD^2 + AB_1^2 = 4R^2$

Из уравнения (3) выразим $AB_1^2$: $AB_1^2 = 4R^2 - AD^2$. Подставим это выражение в уравнение (2):$AB^2 = (4R^2 - AD^2) + H^2$$AB^2 + AD^2 = 4R^2 + H^2$Теперь подставим в это уравнение соотношение из (1):$(4 \cdot AD)^2 + AD^2 = 4R^2 + H^2$$16 \cdot AD^2 + AD^2 = 4R^2 + H^2$$17 \cdot AD^2 = 4R^2 + H^2$

Подставим числовые значения $R = 13$ и $H = 32$:$17 \cdot AD^2 = 4 \cdot 13^2 + 32^2$$17 \cdot AD^2 = 4 \cdot 169 + 1024$$17 \cdot AD^2 = 676 + 1024$$17 \cdot AD^2 = 1700$$AD^2 = \frac{1700}{17} = 100$$AD = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$:$AB = 4 \cdot AD = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна:$S = AB \cdot AD = 40 \cdot 10 = 400$ см$^2$.

Ответ: 400 см$^2$.