Номер 7.31, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.31. Радиус основания цилиндра равен 8 см. Две вершины квадрата со стороной 12 см принадлежат окружности одного основания цилиндра, а две — окружности другого основания. Найдите высоту цилиндра, если плоскость данного квадрата пересекает отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра $R = 8$ см, а сторона квадрата $a = 12$ см. Обозначим квадрат как $ABCD$. Пусть две его вершины $A$ и $B$ лежат на окружности одного (нижнего) основания, а две другие вершины $C$ и $D$ — на окружности другого (верхнего) основания.

Отрезок $AB$ является хордой окружности нижнего основания, его длина равна стороне квадрата: $AB = a = 12$ см. Найдем расстояние от центра нижнего основания $O_1$ до этой хорды. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. В прямоугольном треугольнике $O_1MA$ гипотенуза $O_1A$ равна радиусу $R$, а катет $AM$ равен половине длины хорды $AB$, то есть $AM = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $O_1M$:

$O_1M^2 = O_1A^2 - AM^2 = R^2 - (\frac{a}{2})^2$

$O_1M^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$

$O_1M = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.

Аналогично, отрезок $CD$ является хордой окружности верхнего основания, и расстояние от центра верхнего основания $O_2$ до хорды $CD$ (пусть $N$ — ее середина) также равно $O_2N = 2\sqrt{7}$ см.

Отрезок $MN$ соединяет середины противоположных сторон квадрата $AB$ и $CD$, поэтому его длина равна стороне квадрата: $MN = a = 12$ см.

Условие, что плоскость квадрата пересекает отрезок $O_1O_2$, соединяющий центры оснований, означает, что хорды $AB$ и $CD$ находятся по разные стороны от оси цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный в пространстве. Одним катетом этого треугольника является высота цилиндра $H$. Второй катет — это расстояние между проекциями хорд на плоскость, проходящую через ось цилиндра перпендикулярно этим хордам. Это расстояние равно сумме расстояний от центров оснований до хорд: $d = O_1M + O_2N = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$ см. Гипотенузой этого треугольника является отрезок $MN$, соединяющий середины хорд, $MN = 12$ см.

Применим теорему Пифагора:

$MN^2 = H^2 + (O_1M + O_2N)^2$

$12^2 = H^2 + (4\sqrt{7})^2$

$144 = H^2 + 16 \cdot 7$

$144 = H^2 + 112$

$H^2 = 144 - 112 = 32$

$H = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.