Номер 7.27, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.27. Прямоугольник $MM_1N_1N$ — сечение цилиндра, параллельное его оси. На окружностях оснований цилиндра по разные стороны от данного сечения выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 7.21). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$.

Рис. 7.21

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$ используется метод вспомогательной плоскости. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Построение вспомогательной плоскости.

   Через прямую $AB$ проведем вспомогательную плоскость. Удобнее всего выбрать плоскость, параллельную оси цилиндра. Для этого построим проекцию точки $A$ на плоскость нижнего основания. Проведем из точки $A$ отрезок $AA'$, параллельный образующей $MM_1$ (и оси цилиндра). Точка $A'$ будет лежать на окружности нижнего основания. Прямая $AB$ и параллельная ей прямая, проходящая через $A'$, задают искомую вспомогательную плоскость, которую мы можем определить через три точки $A$, $B$ и $A'$.

2. Нахождение линии пересечения плоскостей.

   Теперь найдем линию пересечения построенной вспомогательной плоскости $(ABA')$ и заданной плоскости сечения $(MM_1N_1)$.

   • Сначала найдем точку пересечения следов этих плоскостей на нижнем основании цилиндра. Следом плоскости $(ABA')$ на нижнем основании является прямая $A'B$. Следом плоскости $(MM_1N_1)$ на нижнем основании является прямая $MN$.

   • Найдем точку пересечения прямых $A'B$ и $MN$ в плоскости нижнего основания. Обозначим эту точку $K$. Поскольку по условию точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от сечения, то отрезки $A'B$ и $MN$ пересекутся. Точка $K$ является общей для обеих плоскостей.

   • Так как и плоскость сечения $(MM_1N_1)$ (по условию), и вспомогательная плоскость $(ABA')$ (по построению) параллельны оси цилиндра, то их линия пересечения также будет параллельна оси. Проведем через точку $K$ прямую $l$, параллельную образующей $MM_1$. Прямая $l$ является линией пересечения плоскостей $(ABA')$ и $(MM_1N_1)$.

3. Нахождение искомой точки.

   Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(MM_1N_1)$ должна лежать на их линии пересечения. Прямая $AB$ и прямая $l$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(ABA')$, следовательно, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $X$.

   Точка $X$ является искомой, так как $X \in AB$ по построению, и $X \in l$, а так как $l \subset (MM_1N_1)$, то и $X \in (MM_1N_1)$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$ — это точка $X$, полученная в результате пересечения прямой $AB$ со вспомогательной прямой $l$, где $l$ проходит через точку $K$ ($K = A'B \cap MN$) и параллельна $MM_1$, а $A'$ — проекция точки $A$ на плоскость нижнего основания.