Номер 7.33, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.33. Точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат окружности одного из оснований цилиндра. Известно, что $\angle ACB = 90^\circ$ и $AC = CB = 2$ см. Отрезки $AK$ и $BD$ — образующие цилиндра. Точка $M$ — середина отрезка $BD$, причём $CM \perp KB$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, которая вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, нам необходимо найти радиус основания $R$ и высоту цилиндра $H$.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра (R)

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания цилиндра. По условию, треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle ACB = 90^\circ$. Вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза $AB$ этого треугольника является диаметром основания цилиндра.

Треугольник $ABC$ также является равнобедренным, поскольку $AC = CB = 2$ см. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + CB^2$

$AB^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$AB = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Диаметр основания $D = AB = 2\sqrt{2}$ см. Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра (H)

Для нахождения высоты $H$ воспользуемся условием перпендикулярности отрезков $CM$ и $KB$ ($CM \perp KB$). Отрезки $AK$ и $BD$ — образующие цилиндра, следовательно, их длина равна высоте цилиндра $H$, и они перпендикулярны плоскости основания. $AK = BD = H$.

Введем трехмерную систему координат. Поместим центр окружности основания в начало координат $O(0, 0, 0)$. Плоскость основания будет совпадать с плоскостью $xy$ ($z=0$). Расположим диаметр $AB$ вдоль оси $Ox$.

Тогда координаты точек $A$ и $B$ будут:

$A(-\sqrt{2}, 0, 0)$ и $B(\sqrt{2}, 0, 0)$.

Точка $C$ лежит на окружности $x^2 + y^2 = R^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ и удовлетворяет условиям $AC=CB=2$. Как было показано в равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$, ее проекция на диаметр $AB$ попадает в центр окружности. Значит, абсцисса точки $C$ равна 0. Подставив $x=0$ в уравнение окружности, получим $y^2=2$, откуда $y=\pm\sqrt{2}$. Выберем положительное значение для $y$. Координаты точки $C$:

$C(0, \sqrt{2}, 0)$.

Отрезки $AK$ и $BD$ — образующие, значит, точки $K$ и $D$ находятся в плоскости верхнего основания $z=H$ и имеют те же координаты $x$ и $y$, что и $A$ и $B$ соответственно:

$K(-\sqrt{2}, 0, H)$

$D(\sqrt{2}, 0, H)$

Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Найдем ее координаты:

$M\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+H}{2}\right) = M(\sqrt{2}, 0, H/2)$.

Теперь найдем векторы $\vec{CM}$ и $\vec{KB}$:

$\vec{CM} = \{x_M - x_C; y_M - y_C; z_M - z_C\} = \{\sqrt{2}-0; 0-\sqrt{2}; H/2-0\} = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}, H/2\}$.

$\vec{KB} = \{x_B - x_K; y_B - y_K; z_B - z_K\} = \{\sqrt{2}-(-\sqrt{2}); 0-0; 0-H\} = \{2\sqrt{2}, 0, -H\}$.

Условие перпендикулярности векторов $CM \perp KB$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CM} \cdot \vec{KB} = 0$.

$(\sqrt{2})(2\sqrt{2}) + (-\sqrt{2})(0) + (H/2)(-H) = 0$

$4 + 0 - \frac{H^2}{2} = 0$

$4 = \frac{H^2}{2}$

$H^2 = 8$

$H = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра

Теперь, зная радиус $R = \sqrt{2}$ см и высоту $H = 2\sqrt{2}$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi (\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 2 \pi (2 \cdot 2) = 8\pi$ см$^2$.

Ответ: $8\pi$ см$^2$.