Страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.27. Прямоугольник $MM_1N_1N$ — сечение цилиндра, параллельное его оси. На окружностях оснований цилиндра по разные стороны от данного сечения выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 7.21). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$.

Рис. 7.21

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$ используется метод вспомогательной плоскости. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Построение вспомогательной плоскости.

   Через прямую $AB$ проведем вспомогательную плоскость. Удобнее всего выбрать плоскость, параллельную оси цилиндра. Для этого построим проекцию точки $A$ на плоскость нижнего основания. Проведем из точки $A$ отрезок $AA'$, параллельный образующей $MM_1$ (и оси цилиндра). Точка $A'$ будет лежать на окружности нижнего основания. Прямая $AB$ и параллельная ей прямая, проходящая через $A'$, задают искомую вспомогательную плоскость, которую мы можем определить через три точки $A$, $B$ и $A'$.

2. Нахождение линии пересечения плоскостей.

   Теперь найдем линию пересечения построенной вспомогательной плоскости $(ABA')$ и заданной плоскости сечения $(MM_1N_1)$.

   • Сначала найдем точку пересечения следов этих плоскостей на нижнем основании цилиндра. Следом плоскости $(ABA')$ на нижнем основании является прямая $A'B$. Следом плоскости $(MM_1N_1)$ на нижнем основании является прямая $MN$.

   • Найдем точку пересечения прямых $A'B$ и $MN$ в плоскости нижнего основания. Обозначим эту точку $K$. Поскольку по условию точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от сечения, то отрезки $A'B$ и $MN$ пересекутся. Точка $K$ является общей для обеих плоскостей.

   • Так как и плоскость сечения $(MM_1N_1)$ (по условию), и вспомогательная плоскость $(ABA')$ (по построению) параллельны оси цилиндра, то их линия пересечения также будет параллельна оси. Проведем через точку $K$ прямую $l$, параллельную образующей $MM_1$. Прямая $l$ является линией пересечения плоскостей $(ABA')$ и $(MM_1N_1)$.

3. Нахождение искомой точки.

   Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(MM_1N_1)$ должна лежать на их линии пересечения. Прямая $AB$ и прямая $l$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(ABA')$, следовательно, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $X$.

   Точка $X$ является искомой, так как $X \in AB$ по построению, и $X \in l$, а так как $l \subset (MM_1N_1)$, то и $X \in (MM_1N_1)$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$ — это точка $X$, полученная в результате пересечения прямой $AB$ со вспомогательной прямой $l$, где $l$ проходит через точку $K$ ($K = A'B \cap MN$) и параллельна $MM_1$, а $A'$ — проекция точки $A$ на плоскость нижнего основания.

7.28. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $\alpha (0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ})$. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна $S$.

Рис. 7.21

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Площадь основания цилиндра $S$ связана с радиусом формулой $S = \pi R^2$.

Сечение, образованное плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — длине хорды $L$, которую плоскость отсекает от окружности основания.

Рассмотрим окружность основания. Хорда $L$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $\alpha$. В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой, угол при вершине (в центре окружности) равен $\alpha$. Длину хорды $L$ можно найти, разбив этот треугольник на два прямоугольных треугольника высотой, проведенной к хорде. Угол при вершине в каждом из этих прямоугольных треугольников будет равен $\frac{\alpha}{2}$. Тогда отношение противолежащего катета (половины хорды) к гипотенузе (радиусу) равно синусу этого угла:$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{L/2}{R}$Отсюда выразим длину хорды:$L = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Диагональ образовавшегося сечения, высота цилиндра $H$ и хорда $L$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ и $L$ являются катетами. Угол $\beta$ — это угол между диагональю сечения (гипотенузой) и ее проекцией на плоскость основания (хордой $L$). По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:$\tan(\beta) = \frac{H}{L}$Отсюда выразим высоту цилиндра:$H = L \tan(\beta)$.

Подставим найденное выражение для $L$ в формулу для $H$:$H = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \tan(\beta) = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$. Подставим в нее полученное выражение для $H$:$S_{бок} = 2\pi R \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right) = 4\pi R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Зная, что площадь основания $S = \pi R^2$, выполним замену в итоговой формуле:$S_{бок} = 4S \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $4S \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$

7.29. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна $S$.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Плоскость, параллельная оси цилиндра, образует в сечении прямоугольник. Сторонами этого прямоугольника являются высота цилиндра $H$ и хорда основания, длину которой обозначим как $l$. По условию, площадь этого сечения равна $S$, следовательно, $S = l \cdot H$.

Рассмотрим основание цилиндра — окружность радиуса $R$. Хорда $l$ видна из центра этой окружности под углом $\alpha$. Это означает, что равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, имеет угол при вершине (в центре окружности), равный $\alpha$. Длину хорды $l$ можно найти, разделив этот треугольник на два прямоугольных треугольника высотой, проведенной к хорде.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна $R$, один из катетов равен $\frac{l}{2}$, а противолежащий ему угол равен $\frac{\alpha}{2}$. Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{l/2}{R}$
Отсюда выражаем длину хорды $l$:
$l = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим найденное выражение для $l$ в формулу площади сечения $S$:
$S = l \cdot H = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot H = 2RH \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Площадь боковой поверхности цилиндра, которую необходимо найти, вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2\pi R H$

Из формулы для площади сечения $S$ выразим произведение $2RH$:
$2RH = \frac{S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = \pi \cdot (2RH) = \pi \cdot \frac{S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\pi S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{\pi S}{\sin(\alpha/2)}$

7.30. Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота — 32 см. Прямоугольник $ABCD$ расположен так, что его вершины $A$ и $D$ лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины $B$ и $C$ — на окружности верхнего основания. Сторона $AD$ в 4 раза меньше стороны $AB$. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. По условию, $R = 13$ см и $H = 32$ см. Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AD$ и $AB$. По условию, $AB = 4 \cdot AD$. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = AB \cdot AD$.

Рассмотрим проекцию прямоугольника $ABCD$ на плоскость нижнего основания. Вершины $A$ и $D$ уже лежат в этой плоскости на окружности основания. Пусть $B_1$ и $C_1$ — проекции вершин $B$ и $C$ на плоскость нижнего основания. Так как вершины $B$ и $C$ лежат на окружности верхнего основания, их проекции $B_1$ и $C_1$ будут лежать на окружности нижнего основания.

Рассмотрим сторону $AB$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABB_1$, где катет $BB_1$ перпендикулярен плоскости основания и равен высоте цилиндра $H$, а катет $AB_1$ является проекцией стороны $AB$ на плоскость основания. По теореме Пифагора:$AB^2 = AB_1^2 + H^2$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны: $AB \perp AD$. Запишем это условие в виде скалярного произведения векторов: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$. Вектор $\vec{AB}$ можно представить как сумму его проекции на плоскость основания и вектора, перпендикулярного основанию: $\vec{AB} = \vec{AB_1} + \vec{B_1B}$. Подставим это в условие перпендикулярности:$(\vec{AB_1} + \vec{B_1B}) \cdot \vec{AD} = 0$$\vec{AB_1} \cdot \vec{AD} + \vec{B_1B} \cdot \vec{AD} = 0$Вектор $\vec{AD}$ лежит в плоскости основания, а вектор $\vec{B_1B}$ перпендикулярен этой плоскости, поэтому их скалярное произведение $\vec{B_1B} \cdot \vec{AD} = 0$. Следовательно, $\vec{AB_1} \cdot \vec{AD} = 0$. Это означает, что проекция стороны $AB_1$ перпендикулярна стороне $AD$.

Теперь рассмотрим геометрию в плоскости нижнего основания. Точки $A$, $D$ и $B_1$ лежат на одной окружности радиуса $R$. Отрезки $AD$ и $AB_1$ — это хорды этой окружности, и они перпендикулярны. Угол $\angle DAB_1 = 90^\circ$ является вписанным в окружность. Вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр. Следовательно, хорда $DB_1$, соединяющая концы перпендикулярных хорд, является диаметром окружности основания, то есть $DB_1 = 2R$. В прямоугольном треугольнике $DAB_1$ по теореме Пифагора:$AD^2 + AB_1^2 = DB_1^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Мы получили систему уравнений:1) $AB = 4 \cdot AD$2) $AB^2 = AB_1^2 + H^2$3) $AD^2 + AB_1^2 = 4R^2$

Из уравнения (3) выразим $AB_1^2$: $AB_1^2 = 4R^2 - AD^2$. Подставим это выражение в уравнение (2):$AB^2 = (4R^2 - AD^2) + H^2$$AB^2 + AD^2 = 4R^2 + H^2$Теперь подставим в это уравнение соотношение из (1):$(4 \cdot AD)^2 + AD^2 = 4R^2 + H^2$$16 \cdot AD^2 + AD^2 = 4R^2 + H^2$$17 \cdot AD^2 = 4R^2 + H^2$

Подставим числовые значения $R = 13$ и $H = 32$:$17 \cdot AD^2 = 4 \cdot 13^2 + 32^2$$17 \cdot AD^2 = 4 \cdot 169 + 1024$$17 \cdot AD^2 = 676 + 1024$$17 \cdot AD^2 = 1700$$AD^2 = \frac{1700}{17} = 100$$AD = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$:$AB = 4 \cdot AD = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна:$S = AB \cdot AD = 40 \cdot 10 = 400$ см$^2$.

Ответ: 400 см$^2$.

7.31. Радиус основания цилиндра равен 8 см. Две вершины квадрата со стороной 12 см принадлежат окружности одного основания цилиндра, а две — окружности другого основания. Найдите высоту цилиндра, если плоскость данного квадрата пересекает отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра $R = 8$ см, а сторона квадрата $a = 12$ см. Обозначим квадрат как $ABCD$. Пусть две его вершины $A$ и $B$ лежат на окружности одного (нижнего) основания, а две другие вершины $C$ и $D$ — на окружности другого (верхнего) основания.

Отрезок $AB$ является хордой окружности нижнего основания, его длина равна стороне квадрата: $AB = a = 12$ см. Найдем расстояние от центра нижнего основания $O_1$ до этой хорды. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. В прямоугольном треугольнике $O_1MA$ гипотенуза $O_1A$ равна радиусу $R$, а катет $AM$ равен половине длины хорды $AB$, то есть $AM = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $O_1M$:

$O_1M^2 = O_1A^2 - AM^2 = R^2 - (\frac{a}{2})^2$

$O_1M^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$

$O_1M = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.

Аналогично, отрезок $CD$ является хордой окружности верхнего основания, и расстояние от центра верхнего основания $O_2$ до хорды $CD$ (пусть $N$ — ее середина) также равно $O_2N = 2\sqrt{7}$ см.

Отрезок $MN$ соединяет середины противоположных сторон квадрата $AB$ и $CD$, поэтому его длина равна стороне квадрата: $MN = a = 12$ см.

Условие, что плоскость квадрата пересекает отрезок $O_1O_2$, соединяющий центры оснований, означает, что хорды $AB$ и $CD$ находятся по разные стороны от оси цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный в пространстве. Одним катетом этого треугольника является высота цилиндра $H$. Второй катет — это расстояние между проекциями хорд на плоскость, проходящую через ось цилиндра перпендикулярно этим хордам. Это расстояние равно сумме расстояний от центров оснований до хорд: $d = O_1M + O_2N = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$ см. Гипотенузой этого треугольника является отрезок $MN$, соединяющий середины хорд, $MN = 12$ см.

Применим теорему Пифагора:

$MN^2 = H^2 + (O_1M + O_2N)^2$

$12^2 = H^2 + (4\sqrt{7})^2$

$144 = H^2 + 16 \cdot 7$

$144 = H^2 + 112$

$H^2 = 144 - 112 = 32$

$H = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

7.32. Радиус основания и высота цилиндра соответственно равны 1 см и $\sqrt{2}$ см. Вершины $A$ и $B$ равностороннего треугольника $ABC$ принадлежат окружности одного из оснований цилиндра, а вершина $C$ — окружности другого основания. Найдите сторону треугольника $ABC$.

Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника $ABC$. По условию задачи радиус основания цилиндра $R = 1$ см, а высота $H = \sqrt{2}$ см.

Вершины $A$ и $B$ треугольника лежат на окружности одного из оснований. Хорда $AB$ имеет длину $a$. Пусть $O_1$ — центр этого основания, а $M$ — середина хорды $AB$. Треугольник $\triangle O_1MA$ является прямоугольным с гипотенузой $O_1A = R = 1$ и катетом $AM = a/2$. По теореме Пифагора найдём расстояние от центра основания до хорды $AB$:$O_1M = \sqrt{O_1A^2 - AM^2} = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$.

Вершина $C$ лежит на окружности другого основания. Пусть $C_{пр}$ — ортогональная проекция точки $C$ на плоскость основания, содержащего точки $A$ и $B$. Точка $C_{пр}$ будет лежать на окружности этого основания, то есть $O_1C_{пр} = R = 1$. Расстояние между точкой $C$ и её проекцией равно высоте цилиндра: $CC_{пр} = H = \sqrt{2}$.

Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $AC = BC$. Это означает, что точка $C$ лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $AB$ и проходящей через его середину $M$. Следовательно, проекция $C_{пр}$ лежит на прямой, содержащей радиус, перпендикулярный хорде $AB$. Таким образом, точки $O_1$, $M$ и $C_{пр}$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CMC_{пр}$ (угол $\angle CC_{пр}M = 90^\circ$, так как $CC_{пр}$ перпендикулярно плоскости основания). Гипотенуза $CM$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$, и её длина равна $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора для $\triangle CMC_{пр}$:$CM^2 = (MC_{пр})^2 + (CC_{пр})^2$Подставляем известные величины:$(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = (MC_{пр})^2 + (\sqrt{2})^2$$\frac{3a^2}{4} = (MC_{пр})^2 + 2$

Расстояние $MC_{пр}$ зависит от взаимного расположения точек $O_1$, $M$ и $C_{пр}$ на прямой. Возможны два случая.

Случай 1. Точка M лежит между O_1 и C_{пр}.
В этом случае расстояние $MC_{пр} = O_1C_{пр} - O_1M = R - O_1M = 1 - \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$. Подставим это выражение в наше уравнение:$\frac{3a^2}{4} = \left(1 - \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}\right)^2 + 2$$\frac{3a^2}{4} = 1 - 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}} + \left(1 - \frac{a^2}{4}\right) + 2$$\frac{3a^2}{4} = 4 - \frac{a^2}{4} - 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$$a^2 - 4 = -2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$$4 - a^2 = 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$Возведём обе части в квадрат (обе части неотрицательны, так как $a \le 2R = 2$):$(4 - a^2)^2 = 4\left(1 - \frac{a^2}{4}\right)$$16 - 8a^2 + a^4 = 4 - a^2$$a^4 - 7a^2 + 12 = 0$Пусть $x = a^2$. Уравнение принимает вид $x^2 - 7x + 12 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Следовательно, $a^2 = 3$ или $a^2 = 4$. Отсюда получаем два возможных значения для стороны треугольника: $a = \sqrt{3}$ см и $a = 2$ см.

Случай 2. Точка O_1 лежит между M и C_{пр}.
В этом случае расстояние $MC_{пр} = O_1C_{пр} + O_1M = R + O_1M = 1 + \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$. Подставим это выражение в уравнение:$\frac{3a^2}{4} = \left(1 + \sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}\right)^2 + 2$$\frac{3a^2}{4} = 1 + 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}} + \left(1 - \frac{a^2}{4}\right) + 2$$\frac{3a^2}{4} = 4 - \frac{a^2}{4} + 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$$a^2 - 4 = 2\sqrt{1 - \frac{a^2}{4}}$Правая часть этого уравнения неотрицательна. Левая часть, $a^2-4$, должна быть также неотрицательной. Однако, так как $AB$ — хорда окружности радиуса 1, её длина $a$ не может превышать диаметр, то есть $a \le 2$, и $a^2 \le 4$. Таким образом, $a^2-4 \le 0$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.$a^2 - 4 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = 2$. Это решение совпадает с одним из решений, найденных в первом случае.

Таким образом, существуют два возможных значения для стороны треугольника.

Ответ: $\sqrt{3}$ см или 2 см.

7.33. Точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат окружности одного из оснований цилиндра. Известно, что $\angle ACB = 90^\circ$ и $AC = CB = 2$ см. Отрезки $AK$ и $BD$ — образующие цилиндра. Точка $M$ — середина отрезка $BD$, причём $CM \perp KB$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, которая вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, нам необходимо найти радиус основания $R$ и высоту цилиндра $H$.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра (R)

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания цилиндра. По условию, треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $\angle ACB = 90^\circ$. Вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза $AB$ этого треугольника является диаметром основания цилиндра.

Треугольник $ABC$ также является равнобедренным, поскольку $AC = CB = 2$ см. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + CB^2$

$AB^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$AB = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Диаметр основания $D = AB = 2\sqrt{2}$ см. Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра (H)

Для нахождения высоты $H$ воспользуемся условием перпендикулярности отрезков $CM$ и $KB$ ($CM \perp KB$). Отрезки $AK$ и $BD$ — образующие цилиндра, следовательно, их длина равна высоте цилиндра $H$, и они перпендикулярны плоскости основания. $AK = BD = H$.

Введем трехмерную систему координат. Поместим центр окружности основания в начало координат $O(0, 0, 0)$. Плоскость основания будет совпадать с плоскостью $xy$ ($z=0$). Расположим диаметр $AB$ вдоль оси $Ox$.

Тогда координаты точек $A$ и $B$ будут:

$A(-\sqrt{2}, 0, 0)$ и $B(\sqrt{2}, 0, 0)$.

Точка $C$ лежит на окружности $x^2 + y^2 = R^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ и удовлетворяет условиям $AC=CB=2$. Как было показано в равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$, ее проекция на диаметр $AB$ попадает в центр окружности. Значит, абсцисса точки $C$ равна 0. Подставив $x=0$ в уравнение окружности, получим $y^2=2$, откуда $y=\pm\sqrt{2}$. Выберем положительное значение для $y$. Координаты точки $C$:

$C(0, \sqrt{2}, 0)$.

Отрезки $AK$ и $BD$ — образующие, значит, точки $K$ и $D$ находятся в плоскости верхнего основания $z=H$ и имеют те же координаты $x$ и $y$, что и $A$ и $B$ соответственно:

$K(-\sqrt{2}, 0, H)$

$D(\sqrt{2}, 0, H)$

Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Найдем ее координаты:

$M\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+H}{2}\right) = M(\sqrt{2}, 0, H/2)$.

Теперь найдем векторы $\vec{CM}$ и $\vec{KB}$:

$\vec{CM} = \{x_M - x_C; y_M - y_C; z_M - z_C\} = \{\sqrt{2}-0; 0-\sqrt{2}; H/2-0\} = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}, H/2\}$.

$\vec{KB} = \{x_B - x_K; y_B - y_K; z_B - z_K\} = \{\sqrt{2}-(-\sqrt{2}); 0-0; 0-H\} = \{2\sqrt{2}, 0, -H\}$.

Условие перпендикулярности векторов $CM \perp KB$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CM} \cdot \vec{KB} = 0$.

$(\sqrt{2})(2\sqrt{2}) + (-\sqrt{2})(0) + (H/2)(-H) = 0$

$4 + 0 - \frac{H^2}{2} = 0$

$4 = \frac{H^2}{2}$

$H^2 = 8$

$H = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра

Теперь, зная радиус $R = \sqrt{2}$ см и высоту $H = 2\sqrt{2}$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi (\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 2 \pi (2 \cdot 2) = 8\pi$ см$^2$.

Ответ: $8\pi$ см$^2$.

7.34. Точки $A, C$ и $D$ принадлежат окружности одного из оснований цилиндра. Известно, что $\angle DAC = 90^\circ$, $\angle ADC = 30^\circ$ и $AC = 1$ см. Отрезки $CK$ и $DM$ — образующие цилиндра. Точка $B$ делит отрезок $DM$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $D$, причём $AB \perp KB$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра необходимо найти его радиус $R$ и высоту $h$. Площадь полной поверхности вычисляется по формуле $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R h = 2\pi R(R+h)$.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра ($R$).

Точки $A$, $C$ и $D$ лежат на окружности одного из оснований цилиндра. Следовательно, треугольник $ACD$ вписан в эту окружность. По условию, $\angle DAC = 90^\circ$. Вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр. Значит, хорда $CD$ является диаметром окружности основания, и ее длина равна $2R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. В нем известен катет $AC = 1$ см и противолежащий ему угол $\angle ADC = 30^\circ$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle ADC) = \frac{AC}{CD}$

Подставим известные значения:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{CD}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{CD}$

Отсюда следует, что диаметр $CD = 2$ см. Радиус основания цилиндра равен половине диаметра:

$R = \frac{CD}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра ($h$).

Отрезки $CK$ и $DM$ являются образующими цилиндра, поэтому их длина равна высоте цилиндра $h$. Точка $B$ делит образующую $DM$ в отношении $3:1$, считая от точки $D$, значит, $DB:BM = 3:1$. Тогда $DB = \frac{3}{4}DM = \frac{3}{4}h$.

По условию, $AB \perp KB$, следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $AK^2 = AB^2 + KB^2$.

Выразим квадраты длин сторон этого треугольника через $h$, используя теорему Пифагора в пространстве (квадрат длины отрезка равен сумме квадрата его проекции на плоскость и квадрата разности высот его концов).

• Для отрезка $AK$: его проекцией на плоскость нижнего основания является отрезок $AC$. Разность высот точек $K$ и $A$ равна $h$. Длина $AC = 1$ см. $AK^2 = AC^2 + h^2 = 1^2 + h^2 = 1 + h^2$.

• Для отрезка $AB$: его проекцией на плоскость нижнего основания является отрезок $AD$. Разность высот точек $B$ и $A$ равна длине отрезка $DB = \frac{3}{4}h$. Найдем длину $AD$ из прямоугольного треугольника $ACD$: $\text{tg}(\angle ADC) = \frac{AC}{AD} \implies AD = \frac{AC}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. Тогда $AB^2 = AD^2 + DB^2 = (\sqrt{3})^2 + (\frac{3}{4}h)^2 = 3 + \frac{9h^2}{16}$.

• Для отрезка $KB$: его проекцией на плоскость нижнего основания является отрезок $CD$. Разность высот точек $K$ и $B$ равна $CK - DB = h - \frac{3}{4}h = \frac{1}{4}h$. Длина $CD = 2$ см. $KB^2 = CD^2 + (h - \frac{3}{4}h)^2 = 2^2 + (\frac{1}{4}h)^2 = 4 + \frac{h^2}{16}$.

Теперь подставим полученные выражения в уравнение теоремы Пифагора для $\Delta ABK$:

$1 + h^2 = \left(3 + \frac{9h^2}{16}\right) + \left(4 + \frac{h^2}{16}\right)$

$1 + h^2 = 7 + \frac{10h^2}{16}$

$h^2 - \frac{10h^2}{16} = 7 - 1$

$h^2 - \frac{5h^2}{8} = 6$

$\frac{3h^2}{8} = 6$

$3h^2 = 48$

$h^2 = 16$

Так как высота — положительная величина, $h = 4$ см.

3. Нахождение площади полной поверхности цилиндра.

Мы нашли радиус основания $R=1$ см и высоту $h=4$ см. Теперь можем вычислить площадь полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = 2\pi R(R+h) = 2\pi \cdot 1 \cdot (1 + 4) = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см².

Ответ: $10\pi$ см².