Страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.1. Прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см вращают вокруг большей стороны. Найдите:

1) диагональ осевого сечения образовавшегося цилиндра;

2) площадь полной поверхности этого цилиндра.

1) диагональ осевого сечения образовавшегося цилиндра
При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. В данном случае вращение происходит вокруг большей стороны, длина которой 3 см. Эта сторона становится высотой цилиндра $h$. Меньшая сторона прямоугольника, равная 1 см, становится радиусом основания цилиндра $r$.
Итак, имеем цилиндр с высотой $h = 3$ см и радиусом основания $r = 1$ см.
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.
Диаметр основания $d = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см.
Таким образом, осевое сечение представляет собой прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см.
Диагональ $D$ этого прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:
$D = \sqrt{h^2 + d^2}$
$D = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ см.
Ответ: $\sqrt{13}$ см.

2) площадь полной поверхности этого цилиндра
Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей оснований $S_{осн}$.
Формула площади полной поверхности цилиндра:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$
Подставим известные значения высоты $h = 3$ см и радиуса $r = 1$ см в формулу:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 1 \cdot (3 + 1) = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ см$^2$.
Ответ: $8\pi$ см$^2$.

7.2. Квадрат со стороной 8 см вращают вокруг одной из его сторон. Найдите:

1) площадь осевого сечения образовавшегося цилиндра;

2) площадь полной поверхности этого цилиндра.

При вращении квадрата со стороной $a$ вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ будет равна стороне квадрата, а радиус его основания $r$ — другой стороне. Поскольку у квадрата все стороны равны, для квадрата со стороной $a = 8$ см мы получаем цилиндр со следующими параметрами:

• Высота цилиндра: $h = 8$ см.
• Радиус основания цилиндра: $r = 8$ см.

1) площадь осевого сечения образовавшегося цилиндра;

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$. Диаметр основания равен двум радиусам: $d = 2r$.

В нашем случае, $d = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется как произведение высоты на диаметр:

$S_{сеч} = h \cdot d = 8 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 128 \text{ см}^2$.

Ответ: $128 \text{ см}^2$.

2) площадь полной поверхности этого цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ состоит из площади боковой поверхности ($S_{бок} = 2\pi rh$) и площади двух оснований ($2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \pi r^2$).

Общая формула для расчета площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(r+h)$.

Подставим известные значения $r = 8$ см и $h = 8$ см в формулу:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 8 \cdot (8+8) = 16\pi \cdot 16 = 256\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $256\pi \text{ см}^2$.

7.3. Точки $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно (рис. 7.18). Точка $A$ — произвольная точка окружности, ограничивающей нижнее основание цилиндра. Отрезок $O_1A$ равен 6 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. В соответствии с условием, $O$ — центр нижнего основания, $O_1$ — центр верхнего основания, $A$ — точка на окружности нижнего основания. Следовательно, отрезок $OA$ является радиусом нижнего основания ($OA=r$), а отрезок $OO_1$ — высотой цилиндра ($OO_1=h$).

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1OA$. Поскольку ось цилиндра $OO_1$ перпендикулярна его основаниям, то $OO_1 \perp OA$. Это означает, что треугольник $\triangle O_1OA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Угол между отрезком (наклонной) $O_1A$ и плоскостью нижнего основания — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. Проекцией наклонной $O_1A$ на плоскость нижнего основания является радиус $OA$. По условию, этот угол $\angle O_1AO = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1OA$ известны гипотенуза $O_1A = 6$ см и прилежащий к катету $OA$ угол $\angle O_1AO = 60^\circ$. Найдем катеты $OA$ и $OO_1$, которые являются радиусом и высотой цилиндра соответственно.

1. Находим радиус $r$:
Катет $OA$ является прилежащим к углу $60^\circ$, поэтому:
$r = OA = O_1A \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

2. Находим высоту $h$:
Катет $OO_1$ является противолежащим углу $60^\circ$, поэтому:
$h = OO_1 = O_1A \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 18\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $18\pi\sqrt{3}$ см².

7.4. Высота цилиндра равна 5 см, а диаметр основания — 24 см. Найдите расстояние от центра одного основания цилиндра до точки окружности другого основания.

Для нахождения расстояния от центра одного основания цилиндра до точки на окружности другого основания, мы можем использовать теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота цилиндра и радиус его основания, а гипотенузой — искомое расстояние.

Дано:

• Высота цилиндра, $h = 5$ см.
• Диаметр основания, $d = 24$ см.

1. Находим радиус основания.

Радиус $r$ равен половине диаметра $d$:

$r = \frac{d}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Применяем теорему Пифагора.

Пусть $L$ — искомое расстояние. Оно является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты — это высота $h$ и радиус $r$. Согласно теореме Пифагора:

$L^2 = h^2 + r^2$

Подставляем известные значения:

$L^2 = 5^2 + 12^2$

$L^2 = 25 + 144$

$L^2 = 169$

Теперь находим $L$, извлекая квадратный корень:

$L = \sqrt{169}$

$L = 13$ см.

Таким образом, расстояние от центра одного основания до точки на окружности другого основания равно 13 см.

Ответ: 13 см.

7.5. Диагональ развёртки боковой поверхности цилиндра равна $d$ и образует с одной из сторон развёртки угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ равна площади этого прямоугольника.

Пусть стороны этого прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ $d$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются стороны $a$ и $b$.

По условию, диагональ $d$ образует с одной из сторон (например, со стороной $a$) угол $\alpha$. Из определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике следует, что прилежащий катет $a = d \cos(\alpha)$, а противолежащий катет $b = d \sin(\alpha)$.

Площадь боковой поверхности равна произведению сторон прямоугольника:

$S_{бок} = a \cdot b = (d \cos(\alpha)) \cdot (d \sin(\alpha)) = d^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$, из которой следует, что $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$, преобразуем выражение для площади:

$S_{бок} = d^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} d^2 \sin(2\alpha)$.

Этот результат не зависит от того, с какой из сторон диагональ образует угол $\alpha$, так как произведение сторон в любом случае будет одинаковым.

Ответ: $\frac{1}{2} d^2 \sin(2\alpha)$.

7.6. Квадрат, диагональ которого равна $4\pi$ см, является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

Пусть сторона квадрата, являющегося развёрткой боковой поверхности цилиндра, равна $a$, а его диагональ равна $d$. По условию задачи, $d = 4\pi$ см.

Сторона квадрата связана с его диагональю соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Отсюда $d = a\sqrt{2}$.

Найдем сторону квадрата $a$:
$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\pi}{\sqrt{2}} = \frac{4\pi\sqrt{2}}{2} = 2\pi\sqrt{2}$ см.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник (в нашем случае — квадрат), одна сторона которого равна высоте цилиндра $h$, а другая — длине окружности его основания $C$.

Следовательно, $h = a = 2\pi\sqrt{2}$ см и $C = a = 2\pi\sqrt{2}$ см.

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус основания цилиндра. Зная $C$, мы можем найти $r$:
$2\pi r = 2\pi\sqrt{2}$
Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получаем:
$r = \sqrt{2}$ см.

Площадь основания цилиндра (которое является кругом) находится по формуле $S_{осн} = \pi r^2$. Подставим найденное значение радиуса:
$S_{осн} = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 2 = 2\pi$ см².

Ответ: $2\pi$ см².

7.7. Как изменится, увеличится или уменьшится, и во сколько раз площадь боковой поверхности цилиндра, если:

1) радиус его основания увеличить в $k$ раз?

2) высоту цилиндра уменьшить в $k$ раз?

3) высоту цилиндра увеличить в $k$ раз, а радиус основания — уменьшить в $k$ раз?

Какой функцией является зависимость площади боковой поверхности цилиндра от: а) радиуса его основания; б) высоты цилиндра?

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

1)

Пусть начальная площадь равна $S_1 = 2 \pi r h$. Если радиус основания увеличить в $k$ раз, то новый радиус будет $r_2 = k \cdot r$. Высота $h$ останется без изменений. Новая площадь боковой поверхности будет равна:

$S_2 = 2 \pi r_2 h = 2 \pi (k \cdot r) h = k \cdot (2 \pi r h) = k \cdot S_1$.

Отношение новой площади к старой составляет $\frac{S_2}{S_1} = k$. Следовательно, площадь увеличится в $k$ раз.

Ответ: увеличится в $k$ раз.

2)

Пусть начальная площадь равна $S_1 = 2 \pi r h$. Если высоту цилиндра уменьшить в $k$ раз, то новая высота будет $h_2 = \frac{h}{k}$. Радиус $r$ останется без изменений. Новая площадь боковой поверхности будет равна:

$S_2 = 2 \pi r h_2 = 2 \pi r \left(\frac{h}{k}\right) = \frac{1}{k} \cdot (2 \pi r h) = \frac{1}{k} \cdot S_1$.

Отношение новой площади к старой составляет $\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{k}$. Следовательно, площадь уменьшится в $k$ раз.

Ответ: уменьшится в $k$ раз.

3)

Пусть начальная площадь равна $S_1 = 2 \pi r h$. Если высоту увеличить в $k$ раз, а радиус уменьшить в $k$ раз, то новая высота будет $h_2 = k \cdot h$, а новый радиус $r_2 = \frac{r}{k}$. Новая площадь боковой поверхности будет равна:

$S_2 = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi \left(\frac{r}{k}\right) (k \cdot h) = 2 \pi \frac{r \cdot k \cdot h}{k} = 2 \pi r h = S_1$.

Площадь не изменится.

Ответ: не изменится.

---

а)

Зависимость площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ от радиуса его основания $r$ при постоянной высоте $h$ выражается функцией $S_{бок}(r) = (2 \pi h) \cdot r$. Поскольку множитель $(2 \pi h)$ является постоянным коэффициентом, эта зависимость является прямой пропорциональностью вида $y = kx$.

Ответ: прямая пропорциональность.

б)

Зависимость площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ от высоты цилиндра $h$ при постоянном радиусе $r$ выражается функцией $S_{бок}(h) = (2 \pi r) \cdot h$. Поскольку множитель $(2 \pi r)$ является постоянным коэффициентом, эта зависимость также является прямой пропорциональностью вида $y = kx$.

Ответ: прямая пропорциональность.

7.8. Диаметр основания цилиндра больше его высоты, а угол между диагоналями осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна $S$.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, диаметр основания как $d$ ($d=2r$) и высоту как $h$. Площадь основания $S$ и площадь боковой поверхности $S_{бок}$ связаны с этими параметрами следующими формулами:

$S = \pi r^2$

$S_{бок} = 2\pi r h = \pi d h$

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником со сторонами $d$ и $h$. По условию, диаметр основания больше высоты, то есть $d > h$.

Диагонали этого прямоугольника пересекаются и образуют две пары равных равнобедренных треугольников. В одной паре треугольников основанием является сторона $d$, а в другой — сторона $h$. Углы при вершине этих треугольников — это углы между диагоналями. Пусть угол, противолежащий стороне $h$, равен $\gamma_h$, а угол, противолежащий стороне $d$, равен $\gamma_d$. Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а $d > h$, то $\gamma_d > \gamma_h$. Поскольку $\gamma_d + \gamma_h = 180^\circ$, отсюда следует, что $\gamma_h$ — острый угол, а $\gamma_d$ — тупой.

По определению, углом между двумя пересекающимися прямыми принято считать острый угол. Следовательно, данный в условии угол $\alpha$ является острым углом между диагоналями: $\alpha = \gamma_h$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный диагоналями и стороной $h$ (которая является его основанием). Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha$. Высота, проведенная из этой вершины к основанию $h$, делит его на два равных прямоугольных треугольника. Длина этой высоты равна половине другой стороны прямоугольника, то есть $d/2$. Катет, противолежащий углу $\alpha/2$, равен $h/2$. Таким образом, мы можем записать тригонометрическое соотношение:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h/2}{d/2} = \frac{h}{d}$

Из этого соотношения выразим высоту $h$ через диаметр $d$:

$h = d \tan(\frac{\alpha}{2})$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi d h = \pi d (d \tan(\frac{\alpha}{2})) = \pi d^2 \tan(\frac{\alpha}{2})$

Нам нужно выразить $S_{бок}$ через площадь основания $S$. Площадь основания равна $S = \pi r^2$. Выразим ее через диаметр $d=2r$:

$S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Отсюда выразим величину $\pi d^2$:

$\pi d^2 = 4S$

Наконец, подставим это в выражение для $S_{бок}$:

$S_{бок} = ( \pi d^2 ) \tan(\frac{\alpha}{2}) = 4S \tan(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $4S \tan(\frac{\alpha}{2})$

7.9. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна $S$.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра, по условию равная $S$, вычисляется по формуле, как произведение длины окружности основания на высоту:
$S = 2 \pi r h$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра ($h$) и диаметру его основания ($d = 2r$).

Площадь осевого сечения (обозначим её $S_{осев}$) равна произведению его сторон:
$S_{осев} = d \cdot h = 2r \cdot h$

Для того чтобы найти связь между площадью боковой поверхности и площадью осевого сечения, выразим произведение $2rh$ из первой формулы:
$S = \pi \cdot (2rh)$

Поскольку $S_{осев} = 2rh$, мы можем подставить это выражение в формулу для $S$:
$S = \pi \cdot S_{осев}$

Отсюда выражаем искомую площадь осевого сечения:
$S_{осев} = \frac{S}{\pi}$

Ответ: $\frac{S}{\pi}$