Номер 7.7, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.7. Как изменится, увеличится или уменьшится, и во сколько раз площадь боковой поверхности цилиндра, если:

1) радиус его основания увеличить в $k$ раз?

2) высоту цилиндра уменьшить в $k$ раз?

3) высоту цилиндра увеличить в $k$ раз, а радиус основания — уменьшить в $k$ раз?

Какой функцией является зависимость площади боковой поверхности цилиндра от: а) радиуса его основания; б) высоты цилиндра?

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

1)

Пусть начальная площадь равна $S_1 = 2 \pi r h$. Если радиус основания увеличить в $k$ раз, то новый радиус будет $r_2 = k \cdot r$. Высота $h$ останется без изменений. Новая площадь боковой поверхности будет равна:

$S_2 = 2 \pi r_2 h = 2 \pi (k \cdot r) h = k \cdot (2 \pi r h) = k \cdot S_1$.

Отношение новой площади к старой составляет $\frac{S_2}{S_1} = k$. Следовательно, площадь увеличится в $k$ раз.

Ответ: увеличится в $k$ раз.

2)

Пусть начальная площадь равна $S_1 = 2 \pi r h$. Если высоту цилиндра уменьшить в $k$ раз, то новая высота будет $h_2 = \frac{h}{k}$. Радиус $r$ останется без изменений. Новая площадь боковой поверхности будет равна:

$S_2 = 2 \pi r h_2 = 2 \pi r \left(\frac{h}{k}\right) = \frac{1}{k} \cdot (2 \pi r h) = \frac{1}{k} \cdot S_1$.

Отношение новой площади к старой составляет $\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{k}$. Следовательно, площадь уменьшится в $k$ раз.

Ответ: уменьшится в $k$ раз.

3)

Пусть начальная площадь равна $S_1 = 2 \pi r h$. Если высоту увеличить в $k$ раз, а радиус уменьшить в $k$ раз, то новая высота будет $h_2 = k \cdot h$, а новый радиус $r_2 = \frac{r}{k}$. Новая площадь боковой поверхности будет равна:

$S_2 = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi \left(\frac{r}{k}\right) (k \cdot h) = 2 \pi \frac{r \cdot k \cdot h}{k} = 2 \pi r h = S_1$.

Площадь не изменится.

Ответ: не изменится.

---

а)

Зависимость площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ от радиуса его основания $r$ при постоянной высоте $h$ выражается функцией $S_{бок}(r) = (2 \pi h) \cdot r$. Поскольку множитель $(2 \pi h)$ является постоянным коэффициентом, эта зависимость является прямой пропорциональностью вида $y = kx$.

Ответ: прямая пропорциональность.

б)

Зависимость площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ от высоты цилиндра $h$ при постоянном радиусе $r$ выражается функцией $S_{бок}(h) = (2 \pi r) \cdot h$. Поскольку множитель $(2 \pi r)$ является постоянным коэффициентом, эта зависимость также является прямой пропорциональностью вида $y = kx$.

Ответ: прямая пропорциональность.