Номер 7.3, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.3. Точки $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно (рис. 7.18). Точка $A$ — произвольная точка окружности, ограничивающей нижнее основание цилиндра. Отрезок $O_1A$ равен 6 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. В соответствии с условием, $O$ — центр нижнего основания, $O_1$ — центр верхнего основания, $A$ — точка на окружности нижнего основания. Следовательно, отрезок $OA$ является радиусом нижнего основания ($OA=r$), а отрезок $OO_1$ — высотой цилиндра ($OO_1=h$).

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1OA$. Поскольку ось цилиндра $OO_1$ перпендикулярна его основаниям, то $OO_1 \perp OA$. Это означает, что треугольник $\triangle O_1OA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Угол между отрезком (наклонной) $O_1A$ и плоскостью нижнего основания — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. Проекцией наклонной $O_1A$ на плоскость нижнего основания является радиус $OA$. По условию, этот угол $\angle O_1AO = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1OA$ известны гипотенуза $O_1A = 6$ см и прилежащий к катету $OA$ угол $\angle O_1AO = 60^\circ$. Найдем катеты $OA$ и $OO_1$, которые являются радиусом и высотой цилиндра соответственно.

1. Находим радиус $r$:
Катет $OA$ является прилежащим к углу $60^\circ$, поэтому:
$r = OA = O_1A \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

2. Находим высоту $h$:
Катет $OO_1$ является противолежащим углу $60^\circ$, поэтому:
$h = OO_1 = O_1A \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим найденные значения $r$ и $h$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 18\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $18\pi\sqrt{3}$ см².