Номер 6.30, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.30. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямым $BD_1$ и $B_1 C$. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Для нахождения этого угла введем прямоугольную систему координат и определим нормальные векторы к плоскостям $\alpha$ и $ABC$.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1. Введем систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$ (ось $Ox$), $AD$ (ось $Oy$) и $AA_1$ (ось $Oz$). В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$. Уравнение этой плоскости $z=0$. Нормальный вектор к плоскости $ABC$ коллинеарен оси $Oz$, поэтому в качестве нормального вектора можно взять вектор $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямым $BD_1$ и $B_1C$. Это означает, что нормальный вектор к плоскости $\alpha$, обозначим его $\vec{n}_{\alpha}$, перпендикулярен направляющим векторам этих прямых.

Найдем направляющие векторы для прямых $BD_1$ и $B_1C$ как разность координат их конечных и начальных точек:

Направляющий вектор прямой $BD_1$: $\vec{u} = \vec{BD_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.

Направляющий вектор прямой $B_1C$: $\vec{v} = \vec{B_1C} = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$.

Поскольку вектор $\vec{n}_{\alpha}$ перпендикулярен обоим векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$, его можно найти с помощью векторного произведения:

$\vec{n}_{\alpha} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - \vec{j}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 0) + \vec{k}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0)$

$\vec{n}_{\alpha} = -2\vec{i} - \vec{j} - \vec{k} = (-2, -1, -1)$.

Теперь, когда у нас есть нормальные векторы к обеим плоскостям, мы можем найти угол $\phi$ между ними. Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{|\vec{n}_{\alpha}| \cdot |\vec{n}_{ABC}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{ABC} = (-2) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{n}_{\alpha}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.

$|\vec{n}_{ABC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|-1|}{\sqrt{6} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

Следовательно, искомый угол $\phi$ между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$.