Номер 6.27, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.27. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм $ABCD$ такой, что $\angle BAD = 60^\circ$. Известно, что $AB = AA_1 = a$, $AD = 2a$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $AB_1D_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Так как параллелепипед прямой, ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$, и оси координат взаимно перпендикулярны.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения:

1. Точка $A$ — начало координат, поэтому ее координаты $A(0, 0, 0)$.

2. Точка $D$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $AD = 2a$ от начала координат. Следовательно, ее координаты $D(2a, 0, 0)$.

3. Точка $B$ лежит в плоскости $Oxy$. Ее координаты найдем из длины отрезка $AB = a$ и угла $\angle BAD = 60^\circ$:
$x_B = AB \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$
$y_B = AB \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, координаты точки $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

4. Координаты точки $C$ можно найти, используя векторное равенство для параллелограмма $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
$\vec{AB} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
$\vec{AD} = (2a, 0, 0)$
$\vec{AC} = (\frac{a}{2} + 2a, \frac{a\sqrt{3}}{2} + 0, 0+0) = (\frac{5a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Следовательно, координаты точки $C(\frac{5a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

5. Точки $B_1$ и $D_1$ являются вершинами верхнего основания. Их координаты получаются смещением точек $B$ и $D$ на вектор $\vec{AA_1} = (0, 0, a)$:
$B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
$D_1(2a, 0, a)$

Теперь составим уравнение плоскости $AB_1D_1$. Для этого найдем вектор нормали $\vec{n}$ к этой плоскости как векторное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.
$\vec{AB_1} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
$\vec{AD_1} = (2a, 0, a)$

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & a \\ 2a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(\frac{a}{2} \cdot a - 2a \cdot a) + \mathbf{k}(\frac{a}{2} \cdot 0 - 2a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}) = (\frac{a^2\sqrt{3}}{2}, \frac{3a^2}{2}, -a^2\sqrt{3})$.

Для удобства в качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор, разделив координаты на $\frac{a^2}{2}$: $\vec{n}' = (\sqrt{3}, 3, -2\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(0,0,0)$ с вектором нормали $\vec{n}' = (M, N, P)$, имеет вид $Mx + Ny + Pz = 0$. Подставив координаты вектора $\vec{n}'$, получаем уравнение плоскости $AB_1D_1$:
$\sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z = 0$.

Расстояние $d$ от точки $C(x_0, y_0, z_0) = C(\frac{5a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $Mx + Ny + Pz + Q = 0$ находится по формуле:
$d = \frac{|Mx_0 + Ny_0 + Pz_0 + Q|}{\sqrt{M^2 + N^2 + P^2}}$.

Подставляем наши значения:
$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot \frac{5a}{2} + 3 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} \cdot 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + (-2\sqrt{3})^2}} = \frac{|\frac{5a\sqrt{3}}{2} + \frac{3a\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3 + 9 + 12}} = \frac{|\frac{8a\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{24}} = \frac{4a\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}$.

Упростим полученное выражение:
$d = \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

Ответ: $a\sqrt{2}$.