Номер 6.28, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.28. Сторона основания и высота правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ соответственно равны 6 см и 12 см. Плоскость $\alpha$ проходит через середины рёбер $AD$ и $MC$, а также точку пересечения медиан треугольника $AMB$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр основания пирамиды, квадрат ABCD, находится в начале координат O(0, 0, 0). Направим ось Oz вдоль высоты пирамиды MO. Оси Ox и Oy направим параллельно сторонам AB и AD соответственно.

В этой системе координат вершины пирамиды будут иметь следующие координаты:

• Сторона основания равна 6 см, поэтому половина стороны равна 3 см. Координаты вершин основания: A(-3, -3, 0), B(3, -3, 0), C(3, 3, 0), D(-3, 3, 0).
• Высота пирамиды равна 12 см, поэтому вершина M имеет координаты M(0, 0, 12).

Плоскость α проходит через три точки. Найдем их координаты.

1. Точка P — середина ребра AD.
   Ее координаты: $P = (\frac{-3 + (-3)}{2}; \frac{-3 + 3}{2}; \frac{0 + 0}{2}) = (-3, 0, 0)$.
2. Точка Q — середина ребра MC.
   Ее координаты: $Q = (\frac{0 + 3}{2}; \frac{0 + 3}{2}; \frac{12 + 0}{2}) = (1.5, 1.5, 6)$.
3. Точка R — точка пересечения медиан (центроид) треугольника AMB.
   Ее координаты находятся как среднее арифметическое координат вершин треугольника: $R = (\frac{-3 + 0 + 3}{3}; \frac{-3 + 0 + (-3)}{3}; \frac{0 + 12 + 0}{3}) = (0, -2, 4)$.

Теперь составим уравнение плоскости α, проходящей через точки P(-3, 0, 0), Q(1.5, 1.5, 6) и R(0, -2, 4).Для этого найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{PQ} = (1.5 - (-3); 1.5 - 0; 6 - 0) = (4.5, 1.5, 6)$

$\vec{PR} = (0 - (-3); -2 - 0; 4 - 0) = (3, -2, 4)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости α можно найти как векторное произведение векторов $\vec{PQ}$ и $\vec{PR}$:

$\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4.5 & 1.5 & 6 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1.5 \cdot 4 - 6 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(4.5 \cdot 4 - 6 \cdot 3) + \mathbf{k}(4.5 \cdot (-2) - 1.5 \cdot 3)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(6 + 12) - \mathbf{j}(18 - 18) + \mathbf{k}(-9 - 4.5) = (18, 0, -13.5)$

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, умножив координаты $\vec{n}$ на 2/9. Получим вектор нормали $\vec{n'} = (4, 0, -3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставив координаты вектора нормали, получим: $4x - 3z + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент D, подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки P(-3, 0, 0):

$4(-3) - 3(0) + D = 0 \Rightarrow -12 + D = 0 \Rightarrow D = 12$.

Итак, уравнение плоскости α: $4x - 3z + 12 = 0$.

Последний шаг — найти расстояние от точки C(3, 3, 0) до плоскости α. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем наши значения:

$d = \frac{|4(3) + 0(3) - 3(0) + 12|}{\sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{24}{\sqrt{25}} = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ: 4,8 см.