Номер 6.23, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.23. Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$, сторона которого равна 8 см. Ребро $MD$ перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Точка $K$ принадлежит ребру $MB$ и делит его в отношении 3 : 1, считая от точки $M$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $K$ перпендикулярно прямой $MB$, пересекает прямую $BC$ в точке $F$. Найдите отрезок $BF$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DM$.

В этой системе координат вершины пирамиды и основания будут иметь следующие координаты:

• $D(0; 0; 0)$
• $A(8; 0; 0)$ (так как $DA = 8$ см)
• $C(0; 8; 0)$ (так как $DC = 8$ см)
• $B(8; 8; 0)$ (так как $ABCD$ - квадрат)
• $M(0; 0; 4)$ (так как $MD = 4$ см и $MD$ перпендикулярно плоскости основания)

Точка $K$ принадлежит ребру $MB$ и делит его в отношении $3 : 1$, считая от точки $M$. Это означает, что $MK : KB = 3 : 1$. Найдем координаты точки $K$, используя формулу деления отрезка в данном отношении для радиус-векторов:

$\vec{OK} = \frac{1 \cdot \vec{OM} + 3 \cdot \vec{OB}}{1+3} = \frac{1}{4}(\vec{OM} + 3\vec{OB})$

Подставим координаты точек $M(0; 0; 4)$ и $B(8; 8; 0)$:

$x_K = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$y_K = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$z_K = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Таким образом, координаты точки $K(6; 6; 1)$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ перпендикулярно прямой $MB$. Следовательно, вектор $\vec{MB}$ является вектором нормали к плоскости $\alpha$.

Найдем координаты вектора $\vec{MB}$:

$\vec{MB} = \{x_B - x_M; y_B - y_M; z_B - z_M\} = \{8 - 0; 8 - 0; 0 - 4\} = \{8; 8; -4\}$.

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 4: $\vec{n} = \{2; 2; -1\}$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A$, $B$, $C$ - координаты вектора нормали. Подставив координаты $\vec{n}$, получаем:

$2x + 2y - z + D = 0$.

Так как плоскость проходит через точку $K(6; 6; 1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим их, чтобы найти $D$:

$2 \cdot 6 + 2 \cdot 6 - 1 + D = 0$

$12 + 12 - 1 + D = 0$

$23 + D = 0 \implies D = -23$.

Итак, уравнение плоскости $\alpha$: $2x + 2y - z - 23 = 0$.

Точка $F$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ и прямой $BC$. Найдем параметрическое уравнение прямой $BC$. Прямая проходит через точки $B(8; 8; 0)$ и $C(0; 8; 0)$.

Направляющий вектор прямой $BC$: $\vec{BC} = \{0 - 8; 8 - 8; 0 - 0\} = \{-8; 0; 0\}$.

Параметрическое уравнение прямой $BC$ (используя точку $B$ в качестве начальной):

$ \begin{cases} x = 8 - 8t \\ y = 8 \\ z = 0 \end{cases} $

Координаты точки $F$ должны удовлетворять как уравнению прямой, так и уравнению плоскости. Подставим параметрические выражения для координат в уравнение плоскости $\alpha$:

$2(8 - 8t) + 2(8) - 0 - 23 = 0$

$16 - 16t + 16 - 23 = 0$

$32 - 23 - 16t = 0$

$9 - 16t = 0 \implies t = \frac{9}{16}$.

Теперь найдем координаты точки $F$, подставив найденное значение $t$ в параметрические уравнения прямой:

$x_F = 8 - 8 \cdot \frac{9}{16} = 8 - \frac{9}{2} = \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

$y_F = 8$

$z_F = 0$

Координаты точки $F(3.5; 8; 0)$.

Наконец, найдем длину отрезка $BF$, зная координаты точек $B(8; 8; 0)$ и $F(3.5; 8; 0)$:

$BF = \sqrt{(x_B - x_F)^2 + (y_B - y_F)^2 + (z_B - z_F)^2} = \sqrt{(8 - 3.5)^2 + (8 - 8)^2 + (0 - 0)^2}$

$BF = \sqrt{4.5^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4.5^2} = 4.5$ см.

Ответ: 4,5 см.