Номер 6.16, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $C (-2; 0; 1)$ и $D (1; 5; 0)$ параллельно оси $x$.

Для составления уравнения плоскости необходимо знать точку, через которую она проходит, и вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости). Общее уравнение плоскости имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки на плоскости, а $\vec{n} = (A, B, C)$ — вектор нормали.

1. Найдем два вектора, параллельных плоскости.

Так как плоскость проходит через точки $C(-2; 0; 1)$ и $D(1; 5; 0)$, то вектор $\vec{CD}$ лежит в этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{CD} = (1 - (-2); 5 - 0; 0 - 1) = (3; 5; -1)$.

По условию плоскость параллельна оси $x$. Это означает, что направляющий вектор оси $x$, которым является орт $\vec{i} = (1; 0; 0)$, параллелен искомой плоскости.

2. Найдем вектор нормали к плоскости.

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости или параллельным ей. Таким образом, $\vec{n}$ перпендикулярен векторам $\vec{CD}$ и $\vec{i}$. Мы можем найти $\vec{n}$ как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{i} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

Раскроем определитель по третьей строке:

$\vec{n} = 1 \cdot \begin{vmatrix} \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{k} \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (\vec{j} \cdot (-1) - \vec{k} \cdot 5) = - \vec{j} - 5\vec{k}$

Таким образом, координаты вектора нормали: $\vec{n} = (0; -1; -5)$.

3. Составим уравнение плоскости.

Используем координаты вектора нормали $\vec{n} = (A; B; C) = (0; -1; -5)$ и координаты одной из точек, принадлежащих плоскости, например, $C(-2; 0; 1)$:

$A(x - x_C) + B(y - y_C) + C(z - z_C) = 0$

$0 \cdot (x - (-2)) + (-1) \cdot (y - 0) + (-5) \cdot (z - 1) = 0$

$0 - y - 5z + 5 = 0$

$-y - 5z + 5 = 0$

Для удобства умножим уравнение на $-1$:

$y + 5z - 5 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Для проверки можно подставить в полученное уравнение координаты точки $D(1; 5; 0)$:

$5 + 5 \cdot 0 - 5 = 5 - 5 = 0$. Равенство верно, значит, точка $D$ лежит в этой плоскости. Условие параллельности оси $x$ также выполняется, так как коэффициент при $x$ в уравнении равен нулю.

Ответ: $y + 5z - 5 = 0$.