Номер 6.21, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.21. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Докажите, что прямая $A_1 C$ перпендикулярна плоскости $AB_1 D_1$.

Для того чтобы доказать, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$, необходимо и достаточно доказать, что прямая $A_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем $AB_1$ и $AD_1$, которые пересекаются в точке $A$.

Воспользуемся векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$
$C(a, a, 0)$
$A_1(0, 0, a)$
$B_1(a, 0, a)$
$D_1(0, a, a)$

Теперь найдем координаты векторов, соответствующих нашим прямым: $\vec{A_1C}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.
$\vec{A_1C} = \{a-0; a-0; 0-a\} = \{a; a; -a\}$
$\vec{AB_1} = \{a-0; 0-0; a-0\} = \{a; 0; a\}$
$\vec{AD_1} = \{0-0; a-0; a-0\} = \{0; a; a\}$

Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Проверим это условие для пар прямых $(A_1C, AB_1)$ и $(A_1C, AD_1)$.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{A_1C}$ и $\vec{AB_1}$:
$\vec{A_1C} \cdot \vec{AB_1} = (a)(a) + (a)(0) + (-a)(a) = a^2 + 0 - a^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны, следовательно, прямые $A_1C$ и $AB_1$ перпендикулярны: $A_1C \perp AB_1$.

2. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{A_1C}$ и $\vec{AD_1}$:
$\vec{A_1C} \cdot \vec{AD_1} = (a)(0) + (a)(a) + (-a)(a) = 0 + a^2 - a^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны, следовательно, прямые $A_1C$ и $AD_1$ перпендикулярны: $A_1C \perp AD_1$.

Так как прямая $A_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB_1$ и $AD_1$, лежащим в плоскости $AB_1D_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.