Номер 6.15, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.15. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $A (1; -2; 1)$ и $B (4; 1; 3)$ параллельно оси $y$.

Для составления уравнения плоскости нам необходима точка, принадлежащая этой плоскости, и вектор нормали (перпендикулярный вектор) к ней. Общее уравнение плоскости имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, где $(A, B, C)$ — координаты вектора нормали $\vec{n}$, а $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки, через которую проходит плоскость.

1. Нахождение векторов, параллельных плоскости.

Поскольку плоскость проходит через точки $A(1; -2; 1)$ и $B(4; 1; 3)$, то вектор $\vec{AB}$ лежит в этой плоскости (или параллелен ей). Найдем его координаты:$\vec{AB} = (4-1; 1-(-2); 3-1) = (3; 3; 2)$.

Плоскость также параллельна оси $y$. Направляющий вектор оси $y$ — это $\vec{j} = (0; 1; 0)$. Следовательно, этот вектор также параллелен искомой плоскости.

2. Нахождение вектора нормали.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Мы можем найти $\vec{n}$ как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{j}$:$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{j} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - \vec{j}(3 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + \vec{k}(3 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = -2\vec{i} - 0\vec{j} + 3\vec{k}$Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (-2; 0; 3)$.

3. Составление уравнения плоскости.

Теперь, имея вектор нормали $\vec{n} = (-2; 0; 3)$ и точку на плоскости (возьмем, например, точку $A(1; -2; 1)$), подставим их в общее уравнение плоскости:$-2(x - 1) + 0(y - (-2)) + 3(z - 1) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:$-2x + 2 + 3z - 3 = 0$$-2x + 3z - 1 = 0$

Для удобства можно умножить всё уравнение на -1:$2x - 3z + 1 = 0$

Проверим, принадлежит ли точка $B(4; 1; 3)$ полученной плоскости:$2(4) - 3(3) + 1 = 8 - 9 + 1 = 0$. Равенство верное, значит точка $B$ лежит на плоскости.

Ответ: $2x - 3z + 1 = 0$