Номер 6.8, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.8. Параллельны ли плоскости:

1) $x + 3y + 4z - 6 = 0$ и $3x + 9y + 12z - 12 = 0$;

2) $x - 6y + 5z - 2 = 0$ и $2x + 3y - 4z + 6 = 0?$

1) $x + 3y + 4z - 6 = 0$ и $3x + 9y + 12z - 12 = 0$

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны.

Условие параллельности плоскостей: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$.

Если также $\frac{D_1}{D_2} = k$, то плоскости совпадают.

Для данных плоскостей коэффициенты равны:
$A_1 = 1, B_1 = 3, C_1 = 4, D_1 = -6$
$A_2 = 3, B_2 = 9, C_2 = 12, D_2 = -12$

Проверим соотношения коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{3}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{3}$, нормальные векторы коллинеарны, и плоскости параллельны или совпадают.

Теперь проверим отношение свободных членов:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$, то есть $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$, плоскости не совпадают. Следовательно, они параллельны.

Ответ: да, плоскости параллельны.

2) $x - 6y + 5z - 2 = 0$ и $2x + 3y - 4z + 6 = 0$

Для этой пары плоскостей коэффициенты равны:
$A_1 = 1, B_1 = -6, C_1 = 5, D_1 = -2$
$A_2 = 2, B_2 = 3, C_2 = -4, D_2 = 6$

Проверим пропорциональность координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-6}{3} = -2$

Уже видно, что $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, так как $\frac{1}{2} \neq -2$.

Поскольку условие пропорциональности координат нормальных векторов не выполняется, векторы не коллинеарны. Следовательно, плоскости не параллельны, они пересекаются.

Ответ: нет, плоскости не параллельны.