Номер 6.5, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $K(0; 0; -3)$ и параллельной плоскости $xy$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор $\vec{n} = \{A; B; C\}$ является нормальным (перпендикулярным) вектором к этой плоскости.

Уравнение плоскости $xy$ задается как $z = 0$. В общем виде это уравнение можно записать как $0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + 0 = 0$. Следовательно, нормальный вектор к плоскости $xy$ — это $\vec{n}_{xy} = \{0; 0; 1\}$.

По условию, искомая плоскость параллельна плоскости $xy$. Параллельные плоскости имеют одинаковые (или коллинеарные) нормальные векторы. Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости также будет $\vec{n} = \{0; 0; 1\}$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $K(x_0; y_0; z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n} = \{A; B; C\}$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим координаты точки $K(0; 0; -3)$ и компоненты нормального вектора $\vec{n} = \{0; 0; 1\}$ в эту формулу:

$0 \cdot (x - 0) + 0 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - (-3)) = 0$

Упростим полученное выражение:

$0 + 0 + 1 \cdot (z + 3) = 0$

$z + 3 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Другой способ рассуждения:

Любая плоскость, параллельная координатной плоскости $xy$, состоит из точек с одинаковой координатой $z$. Поэтому ее уравнение имеет вид $z = c$, где $c$ — некоторая константа.

Поскольку плоскость проходит через точку $K(0; 0; -3)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставив координату $z$ точки $K$ в уравнение $z = c$, получаем $c = -3$.

Таким образом, уравнение плоскости — $z = -3$, или в общем виде $z + 3 = 0$.

Ответ: $z + 3 = 0$.