Вопросы?, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют уравнением фигуры $F$, заданной в координатном пространстве $xyz$?

2. Какой вектор $\vec{AB}$ называют перпендикулярным прямой $a$? Плоскости $\alpha$?

3. Какой вектор называют вектором нормали данной плоскости?

4. Какой вид имеет уравнение плоскости с вектором нормали $\vec{AB} (a; b; c)$, проходящей через точку $M (x_0; y_0; z_0)$?

5. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через начало координат?

1. Что называют уравнением фигуры F, заданной в координатном пространстве xyz?

Уравнением фигуры $F$ в координатном пространстве $xyz$ называют такое уравнение с тремя переменными $x, y, z$, которому удовлетворяют координаты каждой точки, принадлежащей фигуре $F$, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей этой фигуре.

Другими словами, точка $M(x_0; y_0; z_0)$ принадлежит фигуре $F$ тогда и только тогда, когда при подстановке ее координат $(x_0, y_0, z_0)$ в уравнение фигуры оно обращается в верное числовое равенство.

Ответ: Уравнение с переменными $x, y, z$, которому удовлетворяют координаты точек, принадлежащих фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих ей.

2. Какой вектор $\vec{AB}$ называют перпендикулярным прямой a? Плоскости $\alpha$?

Ненулевой вектор $\vec{AB}$ называют перпендикулярным прямой $a$, если он лежит на прямой, перпендикулярной прямой $a$. Эквивалентно, вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен направляющему вектору прямой $a$.

Ненулевой вектор $\vec{AB}$ называют перпендикулярным плоскости $\alpha$, если он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Для этого достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости $\alpha$.

Ответ: Вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен прямой $a$, если он перпендикулярен ее направляющему вектору. Вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, если он перпендикулярен любой прямой (любому вектору), лежащей в этой плоскости.

3. Какой вектор называют вектором нормали данной плоскости?

Вектором нормали (или нормальным вектором) данной плоскости называют любой ненулевой вектор, который перпендикулярен этой плоскости. Все векторы нормали к одной и той же плоскости коллинеарны.

Ответ: Любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

4. Какой вид имеет уравнение плоскости с вектором нормали $\vec{AB}(a; b; c)$, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$?

Пусть дана плоскость, проходящая через точку $M(x_0; y_0; z_0)$, и ее вектор нормали $\vec{n} = \vec{AB} = (a; b; c)$. Возьмем на плоскости произвольную точку $P(x; y; z)$. Вектор $\vec{MP}$ с координатами $(x - x_0; y - y_0; z - z_0)$ лежит в этой плоскости.

По определению вектора нормали, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, следовательно, $\vec{n} \perp \vec{MP}$. Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n} \cdot \vec{MP} = 0$.

Записав скалярное произведение через координаты, получим искомое уравнение плоскости:

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.

Ответ: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.

5. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через начало координат?

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Начало координат — это точка $O(0; 0; 0)$. Если плоскость проходит через эту точку, то ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости.

Подставим координаты точки $O$ в общее уравнение:

$A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0$,

откуда следует, что $D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид $Ax + By + Cz = 0$, где $A, B, C$ — координаты вектора нормали.

Ответ: $Ax + By + Cz = 0$.