Номер 5.51, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.51. Боковое ребро и ребро основания правильной четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны $2a$ и $a$. Найдите угол и расстояние между прямыми $DA_1$ и $CD_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке $D$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ – вдоль ребра $DC$, а ось $Oz$ – вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты, учитывая, что ребро основания равно $a$, а боковое ребро равно $2a$:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D_1(0, 0, 2a)$
• $A_1(a, 0, 2a)$

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем направляющие векторы для прямых $DA_1$ и $CD_1$.

Направляющий вектор прямой $DA_1$:

$\vec{v_1} = \vec{DA_1} = (a-0, 0-0, 2a-0) = (a, 0, 2a)$

Направляющий вектор прямой $CD_1$:

$\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (0-0, 0-a, 2a-0) = (0, -a, 2a)$

Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a \cdot 0 + 0 \cdot (-a) + 2a \cdot 2a = 4a^2$

Найдем модули векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

$|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \phi = \frac{4a^2}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{4a^2}{5a^2} = \frac{4}{5}$

Угол между прямыми равен $\phi = \arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $M_1$ и $M_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, можно найти по формуле:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

В качестве точки $M_1$ на прямой $DA_1$ возьмем точку $D(0, 0, 0)$, а в качестве точки $M_2$ на прямой $CD_1$ возьмем точку $C(0, a, 0)$. Тогда вектор, соединяющий эти точки:

$\vec{M_1M_2} = \vec{DC} = (0-0, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$

Направляющие векторы $\vec{v_1} = (a, 0, 2a)$ и $\vec{v_2} = (0, -a, 2a)$ мы уже нашли. Вычислим их векторное произведение:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 2a \\ 0 & -a & 2a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2a - 2a \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot 2a - 2a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0) = (2a^2, -2a^2, -a^2)$

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(2a^2)^2 + (-2a^2)^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{4a^4 + 4a^4 + a^4} = \sqrt{9a^4} = 3a^2$

Теперь найдем смешанное произведение (числитель формулы):

$(\vec{M_1M_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0, a, 0) \cdot (2a^2, -2a^2, -a^2) = 0 \cdot 2a^2 + a \cdot (-2a^2) + 0 \cdot (-a^2) = -2a^3$

Вычислим расстояние:

$d = \frac{|-2a^3|}{3a^2} = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3}$

Ответ: $\frac{2a}{3}$.