Номер 5.47, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.47. Угол между скрещивающимися прямыми $m$ и $n$ равен $60^\circ$. Точки $A$ и $C$ принадлежат прямой $m$, а точки $B$ и $D$ — прямой $n$. Отрезок $CD$ является общим перпендикуляром прямых $m$ и $n$. Найдите отрезок $CD$, если известно, что $AC = BD = a$, $AB = 2a$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем векторы, соответствующие отрезкам, упомянутым в условии: $\vec{AC}$, $\vec{BD}$, $\vec{CD}$ и $\vec{AB}$.

Вектор $\vec{AB}$ можно выразить через сумму векторов, образующих ломаную линию, соединяющую точки A и B. Например, по пути A → C → D → B:$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}$

Найдем квадрат длины вектора $\vec{AB}$, который равен скалярному квадрату этого вектора:$|\vec{AB}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}) \cdot (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:$|\vec{AB}|^2 = \vec{AC} \cdot \vec{AC} + \vec{CD} \cdot \vec{CD} + \vec{DB} \cdot \vec{DB} + 2(\vec{AC} \cdot \vec{CD}) + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB}) + 2(\vec{CD} \cdot \vec{DB})$

Это уравнение можно переписать в терминах длин векторов:$|\vec{AB}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{CD}|^2 + |\vec{DB}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{CD}) + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB}) + 2(\vec{CD} \cdot \vec{DB})$

Из условия задачи нам известны следующие факты:
1. Длины отрезков: $|\vec{AC}| = a$, $|\vec{BD}| = a$, $|\vec{AB}| = 2a$. Обозначим искомую длину $|\vec{CD}| = x$.
2. Отрезок $CD$ является общим перпендикуляром к прямым $m$ и $n$. Это означает, что вектор $\vec{CD}$ перпендикулярен любому вектору, лежащему на прямой $m$ (в частности, $\vec{AC}$), и любому вектору, лежащему на прямой $n$ (в частности, $\vec{DB}$). Следовательно, их скалярные произведения равны нулю:
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = 0$
$\vec{DB} \cdot \vec{CD} = 0$
3. Угол между скрещивающимися прямыми $m$ и $n$ равен $60^\circ$. Угол между векторами $\vec{AC}$ (лежащим на прямой $m$) и $\vec{DB}$ (лежащим на прямой $n$) может быть равен $60^\circ$ или $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Это зависит от взаимного направления векторов на своих прямых.

Подставим известные значения в наше уравнение:$(2a)^2 = a^2 + x^2 + a^2 + 2(0) + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB}) + 2(0)$$4a^2 = 2a^2 + x^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB})$

Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{DB}$ равно:$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{DB}| \cdot \cos(\theta) = a \cdot a \cdot \cos(\theta) = a^2 \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$.

Теперь рассмотрим два возможных случая для угла $\theta$:

1. Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ равен $60^\circ$.
В этом случае $\cos(\theta) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставляем в уравнение:$4a^2 = 2a^2 + x^2 + 2(a^2 \cdot \frac{1}{2})$$4a^2 = 2a^2 + x^2 + a^2$$4a^2 = 3a^2 + x^2$$x^2 = a^2$Так как длина отрезка — положительная величина, $x = a$.

2. Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ равен $120^\circ$.
В этом случае $\cos(\theta) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. Подставляем в уравнение:$4a^2 = 2a^2 + x^2 + 2(a^2 \cdot (-\frac{1}{2}))$$4a^2 = 2a^2 + x^2 - a^2$$4a^2 = a^2 + x^2$$x^2 = 3a^2$Так как длина отрезка — положительная величина, $x = a\sqrt{3}$.

Поскольку в условии задачи не указано взаимное расположение точек A и C на прямой m, а также точек B и D на прямой n, оба случая возможны. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $a$ или $a\sqrt{3}$.