Номер 5.40, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.40. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ относятся как $3 : 1 : 2$. На рёбрах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $M$ и $N$ так, что $AM : MB = 1 : 2$ и $BN : NC = 1 : 1$. Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Докажите, что прямые $MO$ и $A_1N$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности прямых $MO$ и $A_1N$ воспользуемся методом координат.

Доказательство

1. Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$ параллелепипеда. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

2. По условию, ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ относятся как $3:1:2$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $k$. Тогда длины ребер равны: $|AB| = 3k$, $|AD| = k$, $|AA_1| = 2k$. Для удобства вычислений примем $k=2$. Тогда $|AB| = 6$, $|AD| = 2$, $|AA_1| = 4$.

3. Определим координаты необходимых для решения точек в выбранной системе координат.

• $A(0, 0, 0)$, $B(6, 0, 0)$, $C(6, 2, 0)$, $D(0, 2, 0)$.
• $A_1(0, 0, 4)$, $C_1(6, 2, 4)$, $D_1(0, 2, 4)$.

4. Найдем координаты точек $M$, $N$ и $O$.

• Точка $M$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Длина ребра $|AB|=6$, следовательно, $AM = \frac{1}{1+2} \cdot |AB| = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$. Так как $M$ лежит на оси $Ox$, ее координаты $M(2, 0, 0)$.
• Точка $N$ лежит на ребре $BC$ и делит его в отношении $BN : NC = 1 : 1$, то есть $N$ — середина отрезка $BC$. Используя координаты точек $B(6, 0, 0)$ и $C(6, 2, 0)$, найдем координаты точки $N$: $N\left(\frac{6+6}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = N(6, 1, 0)$.
• Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Она является серединой диагонали $C_1D$. Используя координаты точек $C_1(6, 2, 4)$ и $D(0, 2, 0)$, найдем координаты точки $O$: $O\left(\frac{6+0}{2}; \frac{2+2}{2}; \frac{4+0}{2}\right) = O(3, 2, 2)$.

5. Найдем координаты направляющих векторов $\vec{MO}$ и $\vec{A_1N}$ для прямых $MO$ и $A_1N$ соответственно.

• Для вектора $\vec{MO}$, имея точки $M(2, 0, 0)$ и $O(3, 2, 2)$: $\vec{MO} = \{3 - 2; 2 - 0; 2 - 0\} = \{1; 2; 2\}$.
• Для вектора $\vec{A_1N}$, имея точки $A_1(0, 0, 4)$ и $N(6, 1, 0)$: $\vec{A_1N} = \{6 - 0; 1 - 0; 0 - 4\} = \{6; 1; -4\}$.

6. Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Проверим это условие для векторов $\vec{MO}$ и $\vec{A_1N}$: $\vec{MO} \cdot \vec{A_1N} = (1 \cdot 6) + (2 \cdot 1) + (2 \cdot (-4)) = 6 + 2 - 8 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы $\vec{MO}$ и $\vec{A_1N}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $MO$ и $A_1N$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.