Страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.27. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $A (1; 0; 2)$, $B (-2; 4; 2)$ и $C (3; 1; 0)$ является тупоугольным.

Для того чтобы доказать, что треугольник является тупоугольным, можно воспользоваться следствием из теоремы косинусов. Согласно этому следствию, треугольник является тупоугольным, если квадрат его наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон.

Найдем квадраты длин сторон треугольника с вершинами в точках A(1; 0; 2), B(-2; 4; 2) и C(3; 1; 0).

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

1. Вычислим квадрат длины стороны AB: $|AB|^2 = (-2 - 1)^2 + (4 - 0)^2 + (2 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 + 0 = 25$.

2. Вычислим квадрат длины стороны BC: $|BC|^2 = (3 - (-2))^2 + (1 - 4)^2 + (0 - 2)^2 = (5)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = 25 + 9 + 4 = 38$.

3. Вычислим квадрат длины стороны AC: $|AC|^2 = (3 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 2)^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.

Мы получили квадраты длин сторон: $|AB|^2 = 25$, $|BC|^2 = 38$ и $|AC|^2 = 9$.

Наибольшей стороной является BC, так как ее квадрат длины равен 38, что является наибольшим значением.

Теперь проверим, выполняется ли условие для тупоугольного треугольника: $|BC|^2 > |AB|^2 + |AC|^2$ $38 > 25 + 9$ $38 > 34$

Неравенство $38 > 34$ является верным. Это означает, что угол, противолежащий стороне BC (угол A), является тупым. Следовательно, треугольник ABC является тупоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник является тупоугольным, так как квадрат его наибольшей стороны (38) больше суммы квадратов двух других сторон (25 + 9 = 34).

5.28. Даны точки $A(0; -1; 1)$, $B(-2; 0; -1)$ и $C(-2; -1; 0)$. Найдите на оси $z$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ были перпендикулярны.

Для решения задачи необходимо найти координаты точки $D$, которая лежит на оси $z$, и при которой векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ будут перпендикулярны.

1. Точка $D$ лежит на оси $z$. Это означает, что ее координаты по осям $x$ и $y$ равны нулю. Таким образом, координаты точки $D$ можно записать как $D(0; 0; z)$, где $z$ — неизвестная координата, которую нам нужно найти.

2. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$. Для этого из координат конечной точки $C(-2; -1; 0)$ вычтем соответствующие координаты начальной точки $A(0; -1; 1)$:

$\vec{AC} = (-2 - 0; -1 - (-1); 0 - 1) = (-2; 0; -1)$

3. Аналогично найдем координаты вектора $\vec{BD}$. Из координат конечной точки $D(0; 0; z)$ вычтем соответствующие координаты начальной точки $B(-2; 0; -1)$:

$\vec{BD} = (0 - (-2); 0 - 0; z - (-1)) = (2; 0; z + 1)$

4. Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Запишем условие перпендикулярности для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$

Подставим найденные координаты векторов в формулу скалярного произведения:

$(-2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) = 0$

5. Теперь решим полученное уравнение относительно $z$:

$-4 + 0 - (z + 1) = 0$

$-4 - z - 1 = 0$

$-5 - z = 0$

$z = -5$

Таким образом, мы нашли аппликату (координату $z$) точки $D$. Координаты точки $D$ равны $(0; 0; -5)$.

Ответ: $D(0; 0; -5)$

5.29. Даны точки $A (2; -1; 4)$, $B (5; 1; 0)$ и $C (6; 1; 3)$. Найдите на оси $y$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были перпендикулярны.

По условию задачи даны точки $A(2; -1; 4)$, $B(5; 1; 0)$ и $C(6; 1; 3)$. Необходимо найти на оси $y$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были перпендикулярны.

1. Поскольку точка $D$ лежит на оси $y$, её координаты по осям $x$ и $z$ равны нулю. Обозначим координаты точки $D$ как $(0; y_D; 0)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат точки $B$ соответствующие координаты точки $A$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (5 - 2; 1 - (-1); 0 - 4) = (3; 2; -4)$.

3. Аналогично найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (0 - 6; y_D - 1; 0 - 3) = (-6; y_D - 1; -3)$.

4. Условием перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения нулю. Запишем это условие для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2; a_3)$ и $\vec{b}(b_1; b_2; b_3)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.

Подставим координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ в это равенство:

$3 \cdot (-6) + 2 \cdot (y_D - 1) + (-4) \cdot (-3) = 0$.

5. Теперь решим полученное уравнение относительно $y_D$:

$-18 + 2y_D - 2 + 12 = 0$

$2y_D - 8 = 0$

$2y_D = 8$

$y_D = 4$

Таким образом, ордината точки $D$ равна 4. Координаты точки $D$ будут $(0; 4; 0)$.

Ответ: $D(0; 4; 0)$.

5.30. Известно, что $\vec{a} = 4\vec{m} - 5\vec{n}$, $\vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n}$. Найдите угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если $\vec{a} \perp \vec{b}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$), их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{a} = 4\vec{m} - 5\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n}$:

$(4\vec{m} - 5\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + \vec{n}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$4\vec{m} \cdot 2\vec{m} + 4\vec{m} \cdot \vec{n} - 5\vec{n} \cdot 2\vec{m} - 5\vec{n} \cdot \vec{n} = 0$

Учитывая, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$, получим:

$8|\vec{m}|^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 10(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5|\vec{n}|^2 = 0$

$8|\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5|\vec{n}|^2 = 0$

По условию задачи даны модули векторов: $|\vec{m}| = 1$ и $|\vec{n}| = 1$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$8 \cdot 1^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5 \cdot 1^2 = 0$

$8 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5 = 0$

$3 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 0$

Отсюда найдем скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 3$

$\vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Пусть $\alpha$ — искомый угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Угол можно найти из определения скалярного произведения:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos\alpha$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{2} = 1 \cdot 1 \cdot \cos\alpha$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

5.31. Известно, что $\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{n} = \vec{a} - 3\vec{b}$. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$.

Пусть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$. Для нахождения угла воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$.

По условию задачи векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю:$\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = 0$.

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$2\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot (3\vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot (3\vec{b}) = 0$$2(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$.

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля), то есть $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Упростим выражение:$2|\vec{a}|^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3|\vec{b}|^2 = 0$.

Подставим в полученное уравнение заданные значения модулей: $|\vec{a}| = 2$ и $|\vec{b}| = \sqrt{2}$.$2 \cdot (2)^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 0$$2 \cdot 4 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot 2 = 0$$8 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6 = 0$$14 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.

Из этого уравнения выразим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:$7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 14$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$.

Теперь мы можем найти косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).

Ответ: $45^\circ$.

5.32. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равна $a$, точка $M$ — середина ребра $B_1 C_1$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\overrightarrow{AB_1}$ и $\overrightarrow{A_1 M}$;

2) $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{A_1 M}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AC$, ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Так как призма правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Найдем координаты вершин призмы. Пусть высота призмы равна $h$.

• Точка $A$ — начало координат: $A(0, 0, 0)$.
• Точка $C$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a$: $C(a, 0, 0)$.
• Для точки $B$ ее проекция на ось $Ox$ будет $x = a \cdot \cos(60^\circ) = a/2$, а проекция на ось $Oy$ будет $y = a \cdot \sin(60^\circ) = a\sqrt{3}/2$. Таким образом, $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Координаты вершин верхнего основания: $A_1(0, 0, h)$, $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $C_1(a, 0, h)$.

Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$. Ее координаты равны полусумме координат точек $B_1$ и $C_1$:

$M\left(\frac{\frac{a}{2}+a}{2}, \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}+0}{2}, \frac{h+h}{2}\right) = M\left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, h\right)$.

1) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1M}$.

Сначала найдем координаты этих векторов:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

$\vec{A_1M} = M - A_1 = (\frac{3a}{4} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{4} - 0, h - h) = (\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$.

Теперь вычислим их скалярное произведение по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{A_1M} = \frac{a}{2} \cdot \frac{3a}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + h \cdot 0 = \frac{3a^2}{8} + \frac{3a^2}{8} + 0 = \frac{6a^2}{8} = \frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2}{4}$.

2) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{BM}$ и $\vec{A_1M}$.

Координаты вектора $\vec{A_1M}$ нам уже известны: $\vec{A_1M} = (\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$.

Найдем координаты вектора $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = M - B = (\frac{3a}{4} - \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{4} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (\frac{3a-2a}{4}, \frac{a\sqrt{3}-2a\sqrt{3}}{4}, h) = (\frac{a}{4}, -\frac{a\sqrt{3}}{4}, h)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{BM} \cdot \vec{A_1M} = \frac{a}{4} \cdot \frac{3a}{4} + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + h \cdot 0 = \frac{3a^2}{16} - \frac{3a^2}{16} + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

5.33. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб со стороной $a$ и острым углом $60^\circ$ при вершине $A$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD_1}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из вершины A:

$\vec{AB} = \vec{b}$

$\vec{AD} = \vec{d}$

$\vec{AA_1} = \vec{h}$

По условию, основанием является ромб $ABCD$ со стороной $a$ и острым углом $60^\circ$ при вершине A. Это означает, что:

$|\vec{b}| = a$

$|\vec{d}| = a$

Угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{d}$ равен $60^\circ$.

Поскольку параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямой, его боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$. Следовательно, вектор $\vec{h}$ перпендикулярен векторам $\vec{b}$ и $\vec{d}$, а их скалярные произведения равны нулю:

$\vec{h} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{h} \cdot \vec{d} = 0$

Найдем скалярное произведение векторов, лежащих в основании:

$\vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}| \cdot |\vec{d}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

Теперь выразим искомые векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CD_1}$ через базисные векторы.

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания. По правилу параллелограмма для сложения векторов:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

Вектор $\vec{CD_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{CD}$ и $\vec{DD_1}$:

$\vec{CD_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1}$

В ромбе $ABCD$ вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.

Вектор $\vec{DD_1}$ — это боковое ребро, которое параллельно и равно $\vec{AA_1}$, поэтому $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{h}$.

Таким образом, получаем:

$\vec{CD_1} = -\vec{b} + \vec{h}$

Теперь вычислим искомое скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD_1} = (\vec{b} + \vec{d}) \cdot (-\vec{b} + \vec{h})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$(\vec{b} + \vec{d}) \cdot (-\vec{b} + \vec{h}) = \vec{b} \cdot (-\vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{h} + \vec{d} \cdot (-\vec{b}) + \vec{d} \cdot \vec{h}$

Подставим ранее найденные значения скалярных произведений базисных векторов:

$\vec{b} \cdot (-\vec{b}) = -(\vec{b} \cdot \vec{b}) = -|\vec{b}|^2 = -a^2$

$\vec{b} \cdot \vec{h} = 0$

$\vec{d} \cdot (-\vec{b}) = -(\vec{d} \cdot \vec{b}) = -\frac{a^2}{2}$

$\vec{d} \cdot \vec{h} = 0$

Сложим полученные результаты:

$\vec{AC} \cdot \vec{CD_1} = -a^2 + 0 - \frac{a^2}{2} + 0 = -a^2 - \frac{a^2}{2} = -\frac{3a^2}{2}$

Ответ: $-\frac{3a^2}{2}$

5.34. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $BM$ и $BC_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BM$ и $BC_1$ воспользуемся методом координат. Пусть ребро куба равно $a$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0;0;0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $AB$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба и точка $M$ будут иметь следующие координаты:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(0; a; 0)$
• $C_1(a; a; a)$
• $A_1(0; 0; a)$

Поскольку точка $M$ — середина ребра $AA_1$, ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $A_1$:
$M = (\frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}) = (0; 0; \frac{a}{2})$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{BM}$ и $\vec{BC_1}$, соответствующих нашим прямым:

$\vec{BM} = \{x_M - x_B; y_M - y_B; z_M - z_B\} = \{0-0; 0-a; \frac{a}{2}-0\} = \{0; -a; \frac{a}{2}\}$.

$\vec{BC_1} = \{x_{C_1} - x_B; y_{C_1} - y_B; z_{C_1} - z_B\} = \{a-0; a-a; a-0\} = \{a; 0; a\}$.

Угол $\alpha$ между прямыми $BM$ и $BC_1$ равен углу между векторами $\vec{BM}$ и $\vec{BC_1}$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{BM}| \cdot |\vec{BC_1}|}$

1. Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{BM} \cdot \vec{BC_1} = (0 \cdot a) + (-a \cdot 0) + (\frac{a}{2} \cdot a) = 0 + 0 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

2. Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{BM}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{10}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})$.

5.35. Точка $O$ – центр грани $AA_1B_1B$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $OC$ и $B_1D$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $OC$ и $B_1D$ воспользуемся координатно-векторным методом.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(a; 0; 0)$
• $C(a; a; 0)$
• $D(0; a; 0)$
• $A_1(0; 0; a)$
• $B_1(a; 0; a)$

Точка $O$ — центр грани $AA_1B_1B$, следовательно, она является серединой диагонали $A_1B$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $A_1$ и $B$:

Теперь найдем координаты векторов $\vec{OC}$ и $\vec{B_1D}$, соответствующих заданным прямым.

Координаты вектора $\vec{OC}$ равны разности координат его конца (точки $C$) и начала (точки $O$):

Координаты вектора $\vec{B_1D}$ равны разности координат его конца (точки $D$) и начала (точки $B_1$):

Угол $\phi$ между прямыми $OC$ и $B_1D$ равен углу между векторами $\vec{OC}$ и $\vec{B_1D}$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения векторов:

Сначала вычислим скалярное произведение векторов:

Поскольку скалярное произведение положительно, угол между векторами острый, и его косинус будет равен косинусу угла между прямыми.

Теперь найдем длины (модули) векторов:

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

Следовательно, искомый угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения:

Ответ: $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) $.

5.36. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Точки $M$ и $K$ — соответственно середины рёбер $AA_1$ и $AD$, точка $O$ — центр грани $CC_1 D_1 D$. Докажите, что прямые $B_1 K$ и $MO$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности прямых $B_1K$ и $MO$ воспользуемся координатным методом.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ — вдоль ребра $DC$, и ось $Oz$ — вдоль ребра $DD_1$. Для удобства вычислений примем длину ребра куба равной 2.

В данной системе координат найдем координаты необходимых точек:

• Вершина $D$ — начало координат: $D(0; 0; 0)$.
• Вершина $A$: $A(2; 0; 0)$.
• Вершина $C$: $C(0; 2; 0)$.
• Вершина $A_1$: $A_1(2; 0; 2)$.
• Вершина $D_1$: $D_1(0; 0; 2)$.
• Вершина $B_1$: $B_1(2; 2; 2)$.

Теперь определим координаты точек $M$, $K$ и $O$ согласно условию задачи:

• Точка $K$ — середина ребра $AD$. Ее координаты: $K\left(\frac{2+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (1; 0; 0)$.
• Точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Ее координаты: $M\left(\frac{2+2}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+2}{2}\right) = (2; 0; 1)$.
• Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Ее координаты являются полусуммой координат противоположных вершин, например, $C$ и $D_1$: $O\left(\frac{0+0}{2}; \frac{2+0}{2}; \frac{0+2}{2}\right) = (0; 1; 1)$.

Далее найдем координаты направляющих векторов для прямых $B_1K$ и $MO$.

Для прямой $B_1K$ направляющим вектором является вектор $\vec{B_1K}$:
$\vec{B_1K} = (x_K - x_{B_1}; y_K - y_{B_1}; z_K - z_{B_1}) = (1-2; 0-2; 0-2) = (-1; -2; -2)$.

Для прямой $MO$ направляющим вектором является вектор $\vec{MO}$:
$\vec{MO} = (x_O - x_M; y_O - y_M; z_O - z_M) = (0-2; 1-0; 1-1) = (-2; 1; 0)$.

Чтобы доказать, что прямые $B_1K$ и $MO$ перпендикулярны, необходимо показать, что их направляющие векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{B_1K}$ и $\vec{MO}$:
$\vec{B_1K} \cdot \vec{MO} = (-1) \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{B_1K}$ и $\vec{MO}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $B_1K$ и $MO$ также перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

5.37. Основанием пирамиды $DABC$ является равнобедренный треугольник $ABC$, $AB = BC$, $\angle DBA = \angle DBC$. Докажите, что $BD \perp AC$.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔCBD$.

Согласно условию задачи, в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$. Также дано, что $\angle DBA = \angle DBC$. Сторона $BD$ является общей для треугольников $ΔABD$ и $ΔCBD$.

Следовательно, $ΔABD = ΔCBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AD = CD$. Это означает, что треугольник $ADC$ также является равнобедренным с основанием $AC$.

Проведем медиану $BM$ в равнобедренном треугольнике $ABC$ к его основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $BM \perp AC$.

Точка $M$ — середина отрезка $AC$. Так как треугольник $ADC$ равнобедренный с основанием $AC$, то отрезок $DM$, соединяющий вершину $D$ с серединой основания $M$, является его медианой. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию также является высотой, следовательно, $DM \perp AC$.

Мы получили, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BM$ и $DM$. Эти две прямые лежат в плоскости $BDM$ и пересекаются в точке $M$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Значит, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDM$.

Прямая $BD$ принадлежит плоскости $BDM$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp BD$, или, что то же самое, $BD \perp AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $BD \perp AC$, доказано.

5.38. Сумма плоских углов $ASB$ и $BSC$ трёхгранного угла $SABC$ равна $180^\circ$. Докажите, что ребро $SB$ перпендикулярно биссектрисе плоского угла $ASC$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть вершина трёхгранного угла $S$ совпадает с началом координат. Введём единичные векторы $\vec{e_a}$, $\vec{e_b}$ и $\vec{e_c}$, сонаправленные с рёбрами $SA$, $SB$ и $SC$ соответственно, так что $|\vec{e_a}| = |\vec{e_b}| = |\vec{e_c}| = 1$.

Обозначим плоские углы $\angle ASB = \alpha$ и $\angle BSC = \beta$. По условию задачи, их сумма равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Нам необходимо доказать, что ребро $SB$ перпендикулярно биссектрисе угла $ASC$. Направление ребра $SB$ задаётся вектором $\vec{e_b}$. Направление биссектрисы угла $ASC$ (угла между единичными векторами $\vec{e_a}$ и $\vec{e_c}$) задаётся вектором их суммы $\vec{d} = \vec{e_a} + \vec{e_c}$.

Для доказательства перпендикулярности векторов $\vec{e_b}$ и $\vec{d}$ достаточно показать, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{e_b} \cdot \vec{d} = 0$.

Распишем скалярное произведение:
$\vec{e_b} \cdot \vec{d} = \vec{e_b} \cdot (\vec{e_a} + \vec{e_c}) = \vec{e_b} \cdot \vec{e_a} + \vec{e_b} \cdot \vec{e_c}$.

Используя определение скалярного произведения для единичных векторов:
$\vec{e_b} \cdot \vec{e_a} = \cos(\alpha)$
$\vec{e_b} \cdot \vec{e_c} = \cos(\beta)$

Следовательно, $\vec{e_b} \cdot \vec{d} = \cos(\alpha) + \cos(\beta)$.

Из условия $\alpha + \beta = 180^\circ$ следует, что $\cos(\beta) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Подставим это в наше выражение:
$\vec{e_b} \cdot \vec{d} = \cos(\alpha) + (-\cos(\alpha)) = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Это доказывает, что ребро $SB$ перпендикулярно биссектрисе плоского угла $ASC$.

Ответ: Утверждение доказано.

5.39. Точки $M$ и $N$ — соответственно середины рёбер $AA_1$ и $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Докажите, что прямые $MO$ и $B_1N$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности прямых $MO$ и $B_1N$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ — вдоль $DA$, ось $Oy$ — вдоль $DC$, ось $Oz$ — вдоль $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В выбранной системе координат определим координаты точек, указанных в условии задачи.
Координаты вершин, необходимые для решения:
$D(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $A_1(a, 0, a)$, $C(0, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $B_1(a, a, a)$.

Точка $M$ является серединой ребра $AA_1$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $A$ и $A_1$:
$M\left(\frac{a+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}\right) = M\left(a; 0; \frac{a}{2}\right)$.

Точка $N$ является серединой ребра $AD$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $A$ и $D$:
$N\left(\frac{a+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = N\left(\frac{a}{2}; 0; 0\right)$.

Точка $O$ является центром грани $CC_1D_1D$. Ее координаты можно найти как координаты середины диагонали $CD_1$:
$O\left(\frac{0+0}{2}; \frac{a+0}{2}; \frac{0+a}{2}\right) = O\left(0; \frac{a}{2}; \frac{a}{2}\right)$.

Далее найдем координаты направляющих векторов для прямых $MO$ и $B_1N$.
Вектор $\vec{MO}$ имеет координаты, равные разности координат точек $O$ и $M$:
$\vec{MO} = \left(0 - a; \frac{a}{2} - 0; \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right) = \left(-a; \frac{a}{2}; 0\right)$.

Вектор $\vec{B_1N}$ имеет координаты, равные разности координат точек $N$ и $B_1$:
$\vec{B_1N} = \left(\frac{a}{2} - a; 0 - a; 0 - a\right) = \left(-\frac{a}{2}; -a; -a\right)$.

Для того чтобы доказать перпендикулярность прямых $MO$ и $B_1N$, нужно показать, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{MO}$ и $\vec{B_1N}$:
$\vec{MO} \cdot \vec{B_1N} = (-a) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + \left(\frac{a}{2}\right) \cdot (-a) + 0 \cdot (-a) = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые $MO$ и $B_1N$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $MO$ и $B_1N$ доказана.

5.40. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ относятся как $3 : 1 : 2$. На рёбрах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $M$ и $N$ так, что $AM : MB = 1 : 2$ и $BN : NC = 1 : 1$. Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Докажите, что прямые $MO$ и $A_1N$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности прямых $MO$ и $A_1N$ воспользуемся методом координат.

Доказательство

1. Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$ параллелепипеда. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

2. По условию, ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ относятся как $3:1:2$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $k$. Тогда длины ребер равны: $|AB| = 3k$, $|AD| = k$, $|AA_1| = 2k$. Для удобства вычислений примем $k=2$. Тогда $|AB| = 6$, $|AD| = 2$, $|AA_1| = 4$.

3. Определим координаты необходимых для решения точек в выбранной системе координат.

• $A(0, 0, 0)$, $B(6, 0, 0)$, $C(6, 2, 0)$, $D(0, 2, 0)$.
• $A_1(0, 0, 4)$, $C_1(6, 2, 4)$, $D_1(0, 2, 4)$.

4. Найдем координаты точек $M$, $N$ и $O$.

• Точка $M$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Длина ребра $|AB|=6$, следовательно, $AM = \frac{1}{1+2} \cdot |AB| = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$. Так как $M$ лежит на оси $Ox$, ее координаты $M(2, 0, 0)$.
• Точка $N$ лежит на ребре $BC$ и делит его в отношении $BN : NC = 1 : 1$, то есть $N$ — середина отрезка $BC$. Используя координаты точек $B(6, 0, 0)$ и $C(6, 2, 0)$, найдем координаты точки $N$: $N\left(\frac{6+6}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = N(6, 1, 0)$.
• Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Она является серединой диагонали $C_1D$. Используя координаты точек $C_1(6, 2, 4)$ и $D(0, 2, 0)$, найдем координаты точки $O$: $O\left(\frac{6+0}{2}; \frac{2+2}{2}; \frac{4+0}{2}\right) = O(3, 2, 2)$.

5. Найдем координаты направляющих векторов $\vec{MO}$ и $\vec{A_1N}$ для прямых $MO$ и $A_1N$ соответственно.

• Для вектора $\vec{MO}$, имея точки $M(2, 0, 0)$ и $O(3, 2, 2)$: $\vec{MO} = \{3 - 2; 2 - 0; 2 - 0\} = \{1; 2; 2\}$.
• Для вектора $\vec{A_1N}$, имея точки $A_1(0, 0, 4)$ и $N(6, 1, 0)$: $\vec{A_1N} = \{6 - 0; 1 - 0; 0 - 4\} = \{6; 1; -4\}$.

6. Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Проверим это условие для векторов $\vec{MO}$ и $\vec{A_1N}$: $\vec{MO} \cdot \vec{A_1N} = (1 \cdot 6) + (2 \cdot 1) + (2 \cdot (-4)) = 6 + 2 - 8 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы $\vec{MO}$ и $\vec{A_1N}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $MO$ и $A_1N$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5.41. Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ соответственно равны 2 см и 5 см. Точка $K$ — середина ребра $BC$. Найдите расстояние от точки $C$ до центроида тетраэдра $KVAB_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Тогда основание $ABC$ призмы будет лежать в плоскости $Oxy$.

В основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$ со стороной $a=2$ см. Боковое ребро призмы равно $h=5$ см.

Определим координаты вершин и точек, необходимых для решения задачи:

• Точка $A$ совпадает с началом координат: $A(0, 0, 0)$.
• Точка $B$ лежит на оси $Ox$: $B(2, 0, 0)$.
• Координаты точки $C$ найдем, зная, что $ABC$ — равносторонний треугольник. Высота треугольника, проведенная из $C$ к стороне $AB$, равна $h_{\triangle} = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Основание этой высоты — середина отрезка $AB$, то есть точка с координатой $x=1$. Таким образом, $C(1, \sqrt{3}, 0)$.
• Точка $B_1$ является проекцией точки $B$ на верхнее основание, поэтому $B_1(2, 0, 5)$.
• Точка $K$ — середина ребра $BC$. Ее координаты равны полусумме координат точек $B$ и $C$:
  $K = \left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$.

Тетраэдр $KBAB_1$ задан вершинами $K(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $A(0, 0, 0)$ и $B_1(2, 0, 5)$.

Центроид тетраэдра $M$ — это точка, координаты которой равны среднему арифметическому координат его вершин. Найдем координаты центроида $M(x_M, y_M, z_M)$:

$x_M = \frac{x_K + x_B + x_A + x_{B_1}}{4} = \frac{\frac{3}{2} + 2 + 0 + 2}{4} = \frac{\frac{11}{2}}{4} = \frac{11}{8}$.

$y_M = \frac{y_K + y_B + y_A + y_{B_1}}{4} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + 0 + 0}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

$z_M = \frac{z_K + z_B + z_A + z_{B_1}}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 5}{4} = \frac{5}{4}$.

Таким образом, центроид $M$ имеет координаты $M\left(\frac{11}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{5}{4}\right)$.

Теперь найдем расстояние от точки $C(1, \sqrt{3}, 0)$ до центроида $M$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:$d = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2 + (z_M - z_C)^2}$.

$|CM| = \sqrt{\left(\frac{11}{8} - 1\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{8} - \sqrt{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{4} - 0\right)^2}$
$= \sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(-\frac{7\sqrt{3}}{8}\right)^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{49 \cdot 3}{64} + \frac{25}{16}}$
$= \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{147}{64} + \frac{100}{64}}$
$= \sqrt{\frac{9 + 147 + 100}{64}} = \sqrt{\frac{256}{64}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2 см.