Номер 5.31, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.31. Известно, что $\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{n} = \vec{a} - 3\vec{b}$. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$.

Пусть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$. Для нахождения угла воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$.

По условию задачи векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$). Это означает, что их скалярное произведение равно нулю:$\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = 0$.

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):$2\vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot (3\vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot (3\vec{b}) = 0$$2(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$.

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля), то есть $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Упростим выражение:$2|\vec{a}|^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3|\vec{b}|^2 = 0$.

Подставим в полученное уравнение заданные значения модулей: $|\vec{a}| = 2$ и $|\vec{b}| = \sqrt{2}$.$2 \cdot (2)^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 0$$2 \cdot 4 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot 2 = 0$$8 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6 = 0$$14 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.

Из этого уравнения выразим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:$7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 14$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$.

Теперь мы можем найти косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан).

Ответ: $45^\circ$.