Номер 5.30, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.30. Известно, что $\vec{a} = 4\vec{m} - 5\vec{n}$, $\vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n}$. Найдите угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если $\vec{a} \perp \vec{b}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$), их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{a} = 4\vec{m} - 5\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n}$:

$(4\vec{m} - 5\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + \vec{n}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$4\vec{m} \cdot 2\vec{m} + 4\vec{m} \cdot \vec{n} - 5\vec{n} \cdot 2\vec{m} - 5\vec{n} \cdot \vec{n} = 0$

Учитывая, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$, получим:

$8|\vec{m}|^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 10(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5|\vec{n}|^2 = 0$

$8|\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5|\vec{n}|^2 = 0$

По условию задачи даны модули векторов: $|\vec{m}| = 1$ и $|\vec{n}| = 1$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$8 \cdot 1^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5 \cdot 1^2 = 0$

$8 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 5 = 0$

$3 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 0$

Отсюда найдем скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 3$

$\vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Пусть $\alpha$ — искомый угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Угол можно найти из определения скалярного произведения:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos\alpha$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{2} = 1 \cdot 1 \cdot \cos\alpha$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.