Номер 5.32, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.32. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ равна $a$, точка $M$ — середина ребра $B_1 C_1$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\overrightarrow{AB_1}$ и $\overrightarrow{A_1 M}$;

2) $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{A_1 M}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AC$, ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$. Так как призма правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник $ABC$, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Найдем координаты вершин призмы. Пусть высота призмы равна $h$.

• Точка $A$ — начало координат: $A(0, 0, 0)$.
• Точка $C$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a$: $C(a, 0, 0)$.
• Для точки $B$ ее проекция на ось $Ox$ будет $x = a \cdot \cos(60^\circ) = a/2$, а проекция на ось $Oy$ будет $y = a \cdot \sin(60^\circ) = a\sqrt{3}/2$. Таким образом, $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Координаты вершин верхнего основания: $A_1(0, 0, h)$, $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$, $C_1(a, 0, h)$.

Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$. Ее координаты равны полусумме координат точек $B_1$ и $C_1$:

$M\left(\frac{\frac{a}{2}+a}{2}, \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}+0}{2}, \frac{h+h}{2}\right) = M\left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, h\right)$.

1) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1M}$.

Сначала найдем координаты этих векторов:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$.

$\vec{A_1M} = M - A_1 = (\frac{3a}{4} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{4} - 0, h - h) = (\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$.

Теперь вычислим их скалярное произведение по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{A_1M} = \frac{a}{2} \cdot \frac{3a}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + h \cdot 0 = \frac{3a^2}{8} + \frac{3a^2}{8} + 0 = \frac{6a^2}{8} = \frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2}{4}$.

2) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{BM}$ и $\vec{A_1M}$.

Координаты вектора $\vec{A_1M}$ нам уже известны: $\vec{A_1M} = (\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$.

Найдем координаты вектора $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = M - B = (\frac{3a}{4} - \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{4} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (\frac{3a-2a}{4}, \frac{a\sqrt{3}-2a\sqrt{3}}{4}, h) = (\frac{a}{4}, -\frac{a\sqrt{3}}{4}, h)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{BM} \cdot \vec{A_1M} = \frac{a}{4} \cdot \frac{3a}{4} + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + h \cdot 0 = \frac{3a^2}{16} - \frac{3a^2}{16} + 0 = 0$.

Ответ: $0$.