Номер 5.27, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.27. Докажите, что треугольник с вершинами в точках $A (1; 0; 2)$, $B (-2; 4; 2)$ и $C (3; 1; 0)$ является тупоугольным.

Для того чтобы доказать, что треугольник является тупоугольным, можно воспользоваться следствием из теоремы косинусов. Согласно этому следствию, треугольник является тупоугольным, если квадрат его наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон.

Найдем квадраты длин сторон треугольника с вершинами в точках A(1; 0; 2), B(-2; 4; 2) и C(3; 1; 0).

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

1. Вычислим квадрат длины стороны AB: $|AB|^2 = (-2 - 1)^2 + (4 - 0)^2 + (2 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 + 0 = 25$.

2. Вычислим квадрат длины стороны BC: $|BC|^2 = (3 - (-2))^2 + (1 - 4)^2 + (0 - 2)^2 = (5)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = 25 + 9 + 4 = 38$.

3. Вычислим квадрат длины стороны AC: $|AC|^2 = (3 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 2)^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.

Мы получили квадраты длин сторон: $|AB|^2 = 25$, $|BC|^2 = 38$ и $|AC|^2 = 9$.

Наибольшей стороной является BC, так как ее квадрат длины равен 38, что является наибольшим значением.

Теперь проверим, выполняется ли условие для тупоугольного треугольника: $|BC|^2 > |AB|^2 + |AC|^2$ $38 > 25 + 9$ $38 > 34$

Неравенство $38 > 34$ является верным. Это означает, что угол, противолежащий стороне BC (угол A), является тупым. Следовательно, треугольник ABC является тупоугольным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник является тупоугольным, так как квадрат его наибольшей стороны (38) больше суммы квадратов двух других сторон (25 + 9 = 34).