Номер 5.21, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.21. Найдите угол между векторами $ \vec{a} = \vec{m} - \vec{n} $ и $ \vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n} $, если $ |\vec{m}| = 1, |\vec{n}| = \sqrt{3}, \angle(\vec{m}, \vec{n}) = 30^{\circ} $.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ воспользуемся формулой, вытекающей из определения скалярного произведения:
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
Чтобы применить эту формулу, необходимо вычислить скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ и модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

1. Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, используя данные из условия: $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = \sqrt{3}$, и угол между ними $\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 30^\circ$.
$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(\angle(\vec{m}, \vec{n})) = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

2. Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a} = \vec{m} - \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n})$
Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{m} \cdot \vec{m} + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) - \vec{n} \cdot \vec{m} - 2(\vec{n} \cdot \vec{n})$
Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m}$), а скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$), получим:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{m}|^2 + \vec{m} \cdot \vec{n} - 2|\vec{n}|^2$
Подставим известные и ранее вычисленные значения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1^2 + \frac{3}{2} - 2(\sqrt{3})^2 = 1 + \frac{3}{2} - 2 \cdot 3 = 1 + 1.5 - 6 = -3.5 = -\frac{7}{2}$.

3. Далее вычислим модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Модуль вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата.
Найдем квадрат модуля вектора $\vec{a}$:
$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} - \vec{n}) = |\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$
$|\vec{a}|^2 = 1^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right) + (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 + 3 = 1$.
Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{1} = 1$.

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{b}$:
$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{m} + 2\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4|\vec{n}|^2$
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + 4\left(\frac{3}{2}\right) + 4(\sqrt{3})^2 = 1 + 6 + 12 = 19$.
Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{19}$.

4. Наконец, подставляем все найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-7/2}{1 \cdot \sqrt{19}} = -\frac{7}{2\sqrt{19}}$.
Искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{7}{2\sqrt{19}}\right)$.