Номер 5.17, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.17. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$, точки $E$ и $F$ — соответственно середины рёбер $AB$ и $AD$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DC_1}$;

2) $\vec{AB_1}$ и $\vec{C_1D}$;

3) $\vec{BA}$ и $\vec{C_1C}$;

4) $\vec{EF}$ и $\vec{DC}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Так как ребро куба равно $a$, координаты его вершин будут следующими:

$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$, $D_1(0, a, a)$.

Точки $E$ и $F$ — середины ребер $AB$ и $AD$ соответственно. Найдем их координаты:

$E = (\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, 0)$

$F = (\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, \frac{a}{2}, 0)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

1) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DC_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$.

$\vec{DC_1} = (a-0, a-a, a-0) = (a, 0, a)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{DC_1} = 0 \cdot a + 0 \cdot 0 + a \cdot a = a^2$.

Ответ: $a^2$.

2) $\vec{AB_1}$ и $\vec{C_1D}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$.

$\vec{C_1D} = (0-a, a-a, 0-a) = (-a, 0, -a)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{C_1D} = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) = -a^2 - a^2 = -2a^2$.

Ответ: $-2a^2$.

3) $\vec{BA}$ и $\vec{C_1C}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{BA} = (0-a, 0-0, 0-0) = (-a, 0, 0)$.

$\vec{C_1C} = (a-a, a-a, 0-a) = (0, 0, -a)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{BA} \cdot \vec{C_1C} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-a) = 0$.

Ответ: $0$.

4) $\vec{EF}$ и $\vec{DC}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{EF} = (0-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}-0, 0-0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.

$\vec{DC} = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$.

Вычислим их скалярное произведение:

$\vec{EF} \cdot \vec{DC} = (-\frac{a}{2}) \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.