Номер 5.24, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.24. Найдите косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если $A(3; -2; 1)$, $B(-1; 2; 1)$, $C(4; -1; 5)$, $D(1; 3; 0)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти по формуле, которая является следствием определения скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

1. Нахождение координат векторов

Сначала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, зная координаты их начальных и конечных точек. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(3; -2; 1)$ и концом в точке $B(-1; 2; 1)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-1 - 3; 2 - (-2); 1 - 1) = (-4; 4; 0)$

Для вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(4; -1; 5)$ и концом в точке $D(1; 3; 0)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (1 - 4; 3 - (-1); 0 - 5) = (-3; 4; -5)$

2. Вычисление скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{CD}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-4) \cdot (-3) + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) = 12 + 16 + 0 = 28$

3. Вычисление длин (модулей) векторов

Длина вектора $\vec{a}=(x, y, z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Длина вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Длина вектора $\vec{CD}$:

$|\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

4. Нахождение косинуса угла

Теперь подставим все найденные значения в исходную формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{28}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{28}{20 \cdot 2} = \frac{28}{40}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{28}{40} = \frac{7}{10}$

Ответ: $\frac{7}{10}$