Номер 5.26, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.26. Каким треугольником — остроугольным, прямоугольным или тупоугольным — является треугольник с вершинами в точках $A(0; 1; 2)$, $B(-2; -1; 0)$ и $C(1; 0; 1)$?

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по координатам его вершин, необходимо найти квадраты длин его сторон и сравнить квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других.
Даны вершины треугольника: $A(0; 1; 2)$, $B(-2; -1; 0)$ и $C(1; 0; 1)$.

1. Найдем квадраты длин сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.
Для стороны $AB$:
$AB^2 = (-2 - 0)^2 + (-1 - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 4 = 12$.
Для стороны $BC$:
$BC^2 = (1 - (-2))^2 + (0 - (-1))^2 + (1 - 0)^2 = 3^2 + 1^2 + 1^2 = 9 + 1 + 1 = 11$.
Для стороны $AC$:
$AC^2 = (1 - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 2)^2 = 1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.

2. Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон.
Квадраты длин сторон равны 12, 11 и 3. Наибольшее значение - 12, следовательно, $AB$ — самая длинная сторона.
Найдем сумму квадратов двух других сторон:
$BC^2 + AC^2 = 11 + 3 = 14$.
Сравним $AB^2$ с $BC^2 + AC^2$:
$12 < 14$, то есть $AB^2 < BC^2 + AC^2$.

Согласно следствию из теоремы косинусов:

• Если квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник остроугольный.
• Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
• Если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник тупоугольный.

В нашем случае, так как $AB^2 < BC^2 + AC^2$, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.