Номер 5.19, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.19. Каждое ребро правильной пирамиды $MABCD$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$.

По условию, MABCD – правильная пирамида, у которой каждое ребро равно a. Это означает, что в основании пирамиды лежит квадрат ABCD со стороной a, а боковые рёбра MA, MB, MC, MD также равны a. Необходимо найти скалярное произведение векторов $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$.

Для решения задачи воспользуемся методом разложения вектора. Пусть O – центр квадрата ABCD, являющийся точкой пересечения его диагоналей. Поскольку пирамида правильная, её вершина M проецируется в центр основания, а значит, отрезок MO перпендикулярен плоскости основания (ABC).

Разложим вектор $\vec{AM}$ на сумму двух векторов: $\vec{AM} = \vec{AO} + \vec{OM}$.

Теперь вычислим скалярное произведение, используя это разложение:

$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = (\vec{AO} + \vec{OM}) \cdot \vec{AC}$

Применяя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:

$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = \vec{AO} \cdot \vec{AC} + \vec{OM} \cdot \vec{AC}$

Так как вектор $\vec{OM}$ перпендикулярен плоскости основания, он перпендикулярен и любому вектору, лежащему в этой плоскости, включая вектор $\vec{AC}$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, поэтому $\vec{OM} \cdot \vec{AC} = 0$.

Тогда выражение упрощается до вида:

$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = \vec{AO} \cdot \vec{AC}$

Точка O является серединой диагонали AC. Следовательно, вектор $\vec{AO}$ сонаправлен вектору $\vec{AC}$ и его длина равна половине длины вектора $\vec{AC}$. Это можно записать как $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Подставим это соотношение в полученное выражение:

$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = (\frac{1}{2}\vec{AC}) \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AC} \cdot \vec{AC}) = \frac{1}{2}|\vec{AC}|^2$

Осталось найти квадрат длины диагонали AC. В основании лежит квадрат со стороной a. Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора:

$|\vec{AC}|^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Наконец, вычисляем искомое скалярное произведение:

$\vec{AM} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(2a^2) = a^2$

Ответ: $a^2$.