Номер 5.20, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.20. Найдите угол между векторами $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}$, если $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ воспользуемся формулой, которая выражает косинус угла через скалярное произведение векторов и их модули:

$\cos \alpha = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|}$

Для этого нам потребуется последовательно вычислить скалярное произведение $\vec{m} \cdot \vec{n}$ и модули $|\vec{m}|$ и $|\vec{n}|$.

1. Вычисление скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Сначала найдем скалярное произведение исходных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по определению: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

Значение косинуса $135^\circ$:

$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2$

2. Вычисление скалярного произведения $\vec{m} \cdot \vec{n}$

Теперь, используя свойства скалярного произведения, найдем произведение векторов $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} - 2\vec{b}$.

$\vec{m} \cdot \vec{n} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$

Раскрываем скобки:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{a} - 2(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ и $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, получаем:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

Подставляем известные и ранее вычисленные значения: $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$, $|\vec{b}|^2 = 2^2 = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$.

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 - (-2) - 2(4) = 2 + 2 - 8 = -4$

3. Вычисление модулей векторов $|\vec{m}|$ и $|\vec{n}|$

Модуль вектора в квадрате равен скалярному квадрату этого вектора ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$).

Для вектора $\vec{m}$:

$|\vec{m}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$|\vec{m}|^2 = 2 + 2(-2) + 4 = 2 - 4 + 4 = 2$

Отсюда, $|\vec{m}| = \sqrt{2}$.

Для вектора $\vec{n}$:

$|\vec{n}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

$|\vec{n}|^2 = 2 - 4(-2) + 4(4) = 2 + 8 + 16 = 26$

Отсюда, $|\vec{n}| = \sqrt{26}$.

4. Нахождение угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$

Подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{-4}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-4}{\sqrt{52}}$

Упростим знаменатель: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.

$\cos \alpha = \frac{-4}{2\sqrt{13}} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$

Угол $\alpha$ — это арккосинус полученного значения.

$\alpha = \arccos(-\frac{2}{\sqrt{13}})$

Ответ: $\arccos(-\frac{2}{\sqrt{13}})$.